Dijkstra算法原理及证明

Dijkstra算法

 简单讲，Dijkstra算法是计算一个非负权图中，某个起始源点到其它所有节点的最短路径值，即求单源最短路径，经改进能够求出最短路径节点顺序。

 首先，每个节点都存有一个值，这里简称节点值，表示当前节点到源点的最短距离，这个值是动态的，可以被更新，初始时，若节点与源点相连，则最短距离就是该路径距离，否则设为“无穷大”。
 设整个图所有节点集合为E,已求得最短路径的节点集合为S,从源点开始，将源点加入集合S,在E-S(E中不含S中的节点的集合)中寻找最小节点值的节点，将该节点加入集合S中，然后进行松弛操作，即更新E-S中所有与新加入S节点相连的节点值，重复这个过程，即不断寻找E-S中最小的节点值，加入S，同时更新与这个节点相连的未加入S中的节点的节点值，对于n阶图，重复n-1此即可找出所有点到源点的最小距离，因为每一次操作都能找到一个节点到源点的最小距离。
 这里有两个问题：如何更新节点值？为什么每次在E-S中的最小节点值就是该节点的最终最小值？

1.如何更新节点值？

 假设当前加入S的节点是$v_1$，与$v_1$相连的节点有$v_2$、$v_3$、$v_4$，$v_2$在集合S中，则不考虑，因为v2肯定比v1先加入集合S，那么v2的节点值一定比v1小。如下如所示：

 每个节点有节点名称和最短距离，节点与节点之间有距离，v1与v2已在S中，不考虑。用d[节点]表示该节点的节点值，w[a][b]表示节点a与节点b的距离。现在新加入的节点是v1,对于v3来说，
$$d[v1]+w[v1][v3]=4+4=8$$
这个值比节点v3本身的值9要小，所以更新节点v3的值。
对于节点v4来说，
$$d[v1]+w[v1][v4]=4+4=8$$
这个值比节点v4本身的值5要大，所以不更新节点v4的节点值。
更新完结果就是：

这样的更新也叫松弛操作，就是我发现通过另一个节点到达源点比我原来的路径到达源点更近，我就更新我的最短路径，否则就不更新，通用算法就是：

$S=S\cup v_0//将v_0加入集合S$
$for{v}_{i}inE-S$
$ifd[v_0]+w[v_0][v_i]<d[v_i]$
$d[v_i]=d[v_0]+w[v_0][v_i]$

算法中遍历的是所有E-S中的点，但可以对于那些不与新加入的点相连的点，其w[][]距离是无穷大，所以不影响结果。

2.为什么每次加入集合S的点就是该点到源点的最小距离？

这个问题与Dijkstra算法正确性挂钩，现在就来证明一下：
（1）因为每次都是找的E-S中的最小节点值的点加入S，那么加入S的顺序一定是节点到源点最小距离的顺序。
（2）每次加入S的节点$v$一定与S中的节点直接相连，若不然，则存在中间节点$v_j$连接集合S和点$v$，那么$v_j$一定有比$v$更小的节点值，与$d[v]$最小矛盾。
（3）对于一个已求得部分节点最短距离的S集合，下一个加入集合S中的节点必然是S集合中节点的下一邻接点，而根据算法特性，S集合中节点的下一邻接点都被进行松弛更新过，所以E-S中的最小节点值一定是该节点的最短距离。（注意，这里找最小值是为了便于计算，有可能有多个节点的最短距离已经产生，今后也不会再更新，只是他们距离更大一些，所以暂时不被选择）。
 简单地说，因为下一个最短距离的节点必然是S集合的下一邻接点，而选择E-S中最小节点值的节点恰能满足该节点是S的下一邻接点，所以该节点值一定是最短距离。

3.算法总结

$S=\{s\}//源点加入集合S$
$whilen-1>0$
$v_t=findMin(E-S)//在E-S中找到最小距离的节点$
$S=S\cup v_t//将v_t加入集合S$
$for{v}_{i}inE-S//在更新节点值$
$ifd[v_t]+w[v_t][v_i]<d[v_i]$
$d[v_i]=d[v_t]+w[v_t][v_i]$
$n=n-1$

4.举例

以下图为例：

以v1为起始源点，求其余各点到v1的最短距离。后面演示中，用绿色标记加入集合S中的节点，用棕色标记松弛更新的节点。
第一步：选最小的d[v1]=0,源点v1加入S，同时更新d[v2]=2,d[v3]=3

第二步：选最小的d[v2]=2,v2入S，同时更新d[v4]=d[v2]+9=11,d[v3]=3(不变，因为d[v3]
第三步：选最小的d[v3]=3,v3加入S，同时更新d[v4]=d[v3]+4=7,d[v5]=d[v3]+1=4.

第四步：选最小的d[v5]=4,v5加入S，同时更新d[v4]=d[v5]+2=6,d[v6]=d[v5]+4=8

第五步：选最小的d[v4]=6,v4加入S，同时更新d[v6]=8

第六步：只剩v6了，直接将其加入S