CodeForces 663E - Binary Table

给出一个 n(n≤20) 行 m(m≤105) 列的 01 矩阵。每次操作可以将某一行取反或者将某一列取反。要求操作后的矩阵中的 1 的个数最少，求最小个数。

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因为行比较少，我们考虑状压。

状压每一列的状态， sta 第 i 位为 1 表示第 i 行为 1 ，为 0 表示第 i 行为 1

用一个函数 F(sta) 表示状态为 sta 的列的数量

考虑状压我们操作了哪些行， mask 第 i 位为 1 表示我们翻转了第 i 行，为 0 表示没有翻转第 i 行

考虑一个 mask 对 sta 的影响，显然操作后的结果为 mask⊕sta ，不妨记为 res 。

然后对一个 res ，我们可以直接计算这一列的 1 的个数和取反后 1 的个数并且选择一个比较小的作为结果。

不妨预处理出来一个函数 G(res) 表示 res 这样的一列在翻至多一次之后的最小的 1 的个数

对于 m 有 105 ,我们考虑优化一下

构造一个函数 H(mask) ，表示操作为mask的时候 1 的个数。不难想到 H(mask)=∑sta=02n−1F(sta)×G(sta⊕mask)

这个看起来好像不是很好优化，我们换一种写法
H(mask)=∑sta=02n−1∑res=02n−1[sta⊕mask=res]F(sta)×G(res)

因为异或的一些优良的性质，我们也可以写成

H(mask)=∑sta=02n−1∑res=02n−1[sta⊕res=mask]F(sta)×G(res)

这不就是异或卷积嘛(╯‵□′)╯︵┻━┻

然后就做完了

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具体见代码

#include
using namespace std;

const int maxn = 112345;
#define LL long long 
const LL INFF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;

void fwt (LL a[] , int n ,bool on) {
    for ( int d = 1 ; d < n ; d <<= 1 ) {
        for ( int k = d << 1 , i = 0 ; i < n ; i += k ) {
            for ( int j = 0 ; j < d ; ++ j ) {
                LL x = a[i + j] , y = a[i + j + d] ;
                if(on){
                    a[i + j] = ( x + y )  ;
                    a[i + j + d] = ( x - y  )  ;
                }
                else{
                    a[i + j] = ( x + y ) / 2 ;
                    a[i + j + d] = ( x - y ) / 2;
                }
            }
        }
    }
}

char inp[22][maxn];
int arr[maxn];
LL A[1<<22],B[1<<22];

int getone(int x,int n){
    int ret = 0 ;
    while(x){
        ret += x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return min(ret,n - ret);
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i = 0 ; i < n; i ++) scanf("%s",inp[i]);
    for(int i = 0 ; i < m ; i++){
        arr[i] = 0;
        for(int j = 0 ; j < n ; j ++){
            arr[i] |= (inp[j][i] - '0') << j;
        }
    }
    memset(A,0,sizeof(A));
    for(int i = 0 ; i < m ; i++) A[arr[i]] ++;
    for(int i = 0 ; i < (1<1<true);
    fwt(B,1<true);
    for(int i = 0; i < (1<1<false);
    LL ans = INFF;
    for(int i = 0 ; i < (1<printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}