块自适应滤波器

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1. 块自适应滤波器

  传统的LMS（点击学习LMS算法）和NLMS（点击学习NLMS算法）算法都是sample based algorithm，即每来一个样值便更新一次滤波器系数。顾名思义，块自适应滤波器是每来一个数据块更新一次滤波器系数，此处块自适应滤波器采用横向滤波器（点击此处学习横向滤波器）的结构

  令
x(n)=[x(n),x(n−1),...,x(n−M+1)]T\mathbf{x}(n)=[x(n),x(n-1),...,x(n-M+1)]^Tx(n)=[x(n),x(n−1),...,x(n−M+1)]T

  表示时刻$n$输入信号向量（即横向滤波器每个抽头的输入值）；

  令
h(n)=[h0(n),h1(n),...,hM−1(n)]T\mathbf{h}(n)=[h_0(n),h_1(n),...,h_{M-1}(n)]^Th(n)=[h0​(n),h1​(n),...,hM−1​(n)]T

  表示时刻$n$滤波器的抽头权向量，其中$M$表示滤波器的长度，$T$表示向量或矩阵转置。

  令$k$表示块的下标，它与原始样值时间$n$的关系为：
$$n=kL+i$$  $i=0,1,...,L-1$，$k=1,2,...$

  其中$L$表示数据块的长度。第$k$块的输入数据定义为：
AT(k)=[x(kL),x(kL+1),...,x(kL+L−1)]\mathbf{A}^T(k)=[\mathbf{x}(kL),\mathbf{x}(kL+1),...,\mathbf{x}(kL+L-1)]AT(k)=[x(kL),x(kL+1),...,x(kL+L−1)]

  在这个输入数据块持续期间，滤波器的抽头权向量保持不变。表1举例说明了滤波器长度$M=6$，块长度$L=4$时的结构。

表 1 输入数据块结构说明

  表1中横向表示滤波器的长度$M=6$，纵向表示块长度$L=4$，数值$0，1，2，3$属于当前块的数据，$-1，-2，-3，-4，-5$属于之前数据块的数据。

2. 块LMS算法

  滤波器对输入信号向量产生的对应输出为：
y(kL+i)=hT(k)x(kL+i)(1)y(kL+i)=\mathbf{h}^T(k)\mathbf{x}(kL+i)\tag{1}y(kL+i)=hT(k)x(kL+i)(1)

  令$d(kL+)$表示期望响应，则误差信号为：
$$e(kL+i)=d(kL+i)-y(kL+i)\text{\hspace{1em}(2)}$$

  结合传统的LMS算法，运行在实数据上的块LMS算法的抽头权向量的更新公式如下：
h(k+1)=h(k)+μ∑i=0L−1x(kL+i)e(KL+i)(3)\mathbf{h}(k+1)=\mathbf{h}(k)+\mu\sum _{i=0}^{L-1} \mathbf{x}(kL+i)e(KL+i)\tag{3}h(k+1)=h(k)+μi=0∑L−1​x(kL+i)e(KL+i)(3)

3. 块长度的选择

  a. $L=M$,从计算复杂度观点看，这是最佳选择；

  b. $L<M$,由于块的长度小于滤波器的长度，这种情况有降低处理时延的好处；

  c. $L>M$,会产生自适应过程的冗余计算。

  一般选取$L=M$，它是大多数实际应用中人们更喜欢的一种自适应滤波选择。

4. 参考文献

[1] 自适应滤波器原理（第四版） 原作者：simon haykin