codeforces E. Divisor Paths

题目

题意：

给你一个$n$，在这个$n$里面，总共$x$个因子，这些因子如果整除后得到的商质数，那么这两个点中间有边且边的权值是两个数的因子差，给你两个点$u,v$，问最短路径的数量。

思路：

• 我们先假设有一个点$u,v$在这中间有一个$mid$构成最短路$u->mid->v$，然后我们求出最短路的长度是$num(u)-num(mid)+num(mid)-num(v)$，num代表因子个数，我们不难发现最短路和$num(mid)$没有关系，所以可以得出从$u->v$只要能够一直整除就够了，如果无法整除，那么找到$gcd(u,v)$，就有$u->....gcd<-....v$这样也可以构成最短路，因为只要一直整除（也就是有边）。
• 然后就是组合数学了，比如$12->1$，$12$由$2,3$的质因子构成也就是说，这就是权值！所以对与每一个质因子我们都有公式$C_{sum}^x$，$sum$是此时可选择的位置，$x$是此时有多少个数字要选择数字，比如质因子$2$，共有$2$个那么就是$C_3^2$，质因子$3$只剩一个位置了，所以就有$C_1^1$，所以最后$12>1=C_3^2\ast C_1^1$。

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using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> veci;
typedef vector<ll> vecl;
typedef pair<int, int> pii;
template <class T>
inline void read(T &ret) {
    char c;
    int sgn;
    if (c = getchar(), c == EOF) return ;
    while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    sgn = (c == '-') ? -1:1;
    ret = (c == '-') ? 0:(c - '0');
    while (c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + (c - '0');
    ret *= sgn;
    return ;
}
inline void out(ll x) {
    if (x > 9) out(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1e5 + 10;
map<ll, int> mp;
ll fac[maxn] = {0};
ll quickpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1, base = a;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll C(int m, int n) {
    return fac[n] * quickpow(fac[m] * fac[n - m] % mod, mod - 2) % mod;
}
ll gcd(ll a, ll b) {
    if (b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}
int cal(ll n) {
    veci v;
    for (ll i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        int cnt = 0;
        while (n % i == 0) cnt++, n /= i;
        if (cnt)v.push_back(cnt);
    }
    if (n > 1) v.push_back(1);
    ll ans = 1;
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
        int x = v[i];
        sum += x;
        ans = ans * C(x, sum) % mod;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ll d, q, u, v;
    read(d);
    fac[1] = 1, fac[0] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    }
    read(q);
    while (q--) {
        read(u), read(v);
        ll gc = gcd(u, v);
        if (mp[u / gc] == 0) mp[u / gc] = cal(u / gc);
        if (mp[v / gc] == 0) mp[v / gc] = cal(v / gc);
        printf("%lld\n", (1ll * mp[u / gc] * mp[v / gc] + mod) % mod);
    }
    return 0;
}