洛谷 P3338 [ZJOI2014]力

咕咕咕~~~
昨天刚学会FFT，今天早上本来不想做的，结果去看莫反发现看不懂，于是又回归了FFT……
然后发现我除了两道模板题其他题都不会QAQ
（I am so weak）

这道题我采用了抄题解的学习方式
看题解的推导看的一脸懵逼
后来又去看LJY大佬的blog，才发现题解有个地方写错了
最后又看了看绿鸟chen_zhe的题解才稍微明白一点
目前虽然AC了但是还是觉得要打篇笔记理顺一下

声明：本次推导使用从0开始的下标（虽然我不习惯）
首先，定义$g_x=\frac{1}{x^2}$
则
$\begin{array}{rl}{E}_j=& \frac{F_j}{q_j}\\ =& \frac{\sum _{i<j}\frac{q_i{q}_j}{(i-j{)}^2}-\sum _{i>j}\frac{q_i{q}_j}{(i-j{)}^2}}{q_j}\\ =& \sum _{i<j}{q}_i{g}_{i-j}-\sum _{i>j}{q}_i{g}_{i-j}\\ =& \sum _{i=0}^{j-1}{q}_i{g}_{j-i}-\sum _{i=j+1}^{n-1}{q}_i{g}_{i-j}\end{array}$

我们再想一想，多项式相乘每一项系数的计算公式是什么？
$F_k=\sum _{i=0}^k{A}_i{B}_{k-i}$
减号前面那一项很像诶？
但是可惜上界是$j-1$
其实解决这个问题也不难，只需要把$A$向高次方向移一位就好了
移完就可以直接FFT算咯
后面的呢？
恰好反过来了诶！
那我们开一个$p$，使$p_i=q_{n-i}$就好了
最终得到：
$E_j=\sum _{i=0}^{j-1}{q}_i{g}_{j-i}-\sum _{i=j+1}^{n-1}{p}_{n-i}{g}_{i-j}$
设$A=qg,B=pg$
$E_j=A_j-\sum _{i=j+1}^{n-1}{p}_{n-i}{g}_{i-j}$

AC代码送上：

#include
#include
#include
#include
#define cp complex
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
int R[262145];
void fft(cp *arr,int len,int inv)
{
	for(int n=2;n<=len;n<<=1)
	{
		const cp ur(cos(2*pi/n),sin(2*pi*inv/n));
		const int mid=n>>1;
		for(cp *a=arr;a<arr+len-1;a+=n)
		{
			cp r(1,0),t;
			for(int i=0;i<mid;i++,r*=ur)
			{
				t=a[mid+i]*r;
				a[mid+i]=a[i]-t;
				a[i]=a[i]+t;
			}
		}
	}
}
void dft(cp *a,int n,bool inv=0)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(i<R[i])
			swap(a[i],a[R[i]]);
	fft(a,n,inv?-1:1);
	if(inv)
		for(int i=0;i<n;i++)
			a[i].real(a[i].real()/n);
}
cp a[262145],b[262145],c[262145];
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)\\从1开始，自动高移
		scanf("%lf",&a[i]),
		c[i]=1.0/(1ll*i*i),
		b[n-i+1]=a[i];
	m=n<<1;for(n=1;n<m;n<<=1);m>>=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
		R[i]=R[i>>1]>>1|(i&1?n>>1:0);
	dft(a,n);dft(b,n);dft(c,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]*=c[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		b[i]*=c[i];
	dft(a,n,1);dft(b,n,1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%.10lf\n",a[i].real()-b[m-i+1].real());
	return 0;
}