洛谷 P1577 切绳子--二分法求解绳子切割问题

一、问题重述与建模

给定N条长度分别为L[i]的绳子，要求从中切割出K条长度相同的绳子，求这K条绳子每条最长能有多长。答案需要保留到小数点后2位（直接舍去而非四舍五入）。

这个问题可以抽象为一个‌最大化最小值‌的优化问题。我们需要找到一个最大的长度x，使得从所有绳子中能够切割出至少K条长度为x的绳子。数学表达式为：

maximize x
subject to ∑⌊L[i]/x⌋ ≥ K

这个问题属于典型的‌非线性规划问题‌，但由于其特殊的单调性质，我们可以使用二分查找的方法高效求解。

在实际应用中，这类问题常见于资源分配、生产制造等领域。例如，在木材加工厂中，需要将原木切割成相同长度的小段；在布料裁剪中，需要将大块布料分割成相同尺寸的小块等。

二、二分法算法深度分析

二分法是解决这类问题的理想选择，原因在于：

1. ‌单调性‌：对于任意长度x，如果x可行（即能切割出至少K条），那么所有小于x的长度也都可行；反之，如果x不可行，那么所有大于x的长度也都不可行。

2. ‌解空间连续‌：我们需要求解的是一个实数解，而二分法特别适合在连续区间内搜索。

算法步骤如下：

1. 确定搜索范围：左边界le=0，右边界ri=最大可能的绳子长度（可以设为最大L[i]或一个足够大的数如1e9）

2. 当ri-le>精度要求（如1e-4）时循环：

   • 计算中点mid=(le+ri)/2
   • 检查mid是否可行（能否切割出至少K条）
   • 如果可行，则尝试更大的值（le=mid）
   • 如果不可行，则尝试更小的值（ri=mid）

3. 最终le即为所求的最大长度

二分法的效率非常高，时间复杂度为O(N*log(max(L[i])/ε))，其中ε是精度要求（如1e-4）。

三、代码实现详解

以下是完整的C++实现代码，我们将逐部分解析：

#include
using namespace std;
const int maxn=1e4+10;
int n,k;
double L[maxn];

bool f(double x){
    int ans=0;
    for(int i=0;i=k) return true;
    }
    return false;
}

int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i>L[i];
    double le=0,ri=1e9;
    while(ri-le>=1e-4){
        double mid=le+(ri-le)/2;
        if(f(mid)) le=mid;
        else ri=mid;
    }
    printf("%.2f",floor(le*100)/100);
    return 0;
}

1. 辅助函数f(x)

bool f(double x){
    int ans=0;
    for(int i=0;i=k) return true;
    }
    return false;
}

这个函数用于判断给定长度x是否可行。它计算所有绳子能切割出多少条长度为x的绳子，一旦总数达到或超过K就立即返回true，避免不必要的计算。

关键点：

• 使用floor函数向下取整，因为不能拼接绳子
• 提前终止条件(ans>=k)提高了效率
• 时间复杂度为O(N)

2. 主函数中的二分查找

double le=0,ri=1e9;
while(ri-le>=1e-4){
    double mid=le+(ri-le)/2;
    if(f(mid)) le=mid;
    else ri=mid;
}

这部分实现了二分查找的核心逻辑：

1. 初始化搜索范围为[0,1e9]
2. 当区间长度大于1e-4时继续搜索
3. 计算中点mid（使用le+(ri-le)/2而非(le+ri)/2避免数值溢出）
4. 根据f(mid)的结果调整搜索区间

3. 输出处理

printf("%.2f",floor(le*100)/100);

这里特别注意题目要求"直接舍掉2位后的小数"，所以不能直接用%.2f（它会四舍五入），而是先乘以100取floor再除以100。

四、复杂度优化分析

时间复杂度

1. 二分查找部分：O(log(max(L[i])/ε))次迭代
2. 每次迭代调用f(x)：O(N)
3. 总时间复杂度：O(N*log(max(L[i])/ε))

对于N=1e4，max(L[i])=1e9，ε=1e-4，大约需要30次迭代，总操作量约3e5，非常高效。

空间复杂度

只需要O(N)空间存储绳子长度，非常节省。

优化点

1. 将ri初始化为max(L[i])而非1e9，可以减少二分查找范围
2. 在f(x)中使用提前终止条件
3. 使用更高效的输入方式（如scanf）对于大数据量可能有帮助

五、正确性证明

为了证明算法的正确性，我们需要验证：

1. ‌单调性‌：如果x可行，则所有x'x都不可行。

   证明：对于x'

2. ‌二分法的收敛性‌：每次迭代都将搜索区间减半，最终会收敛到满足精度要求的解。

3. ‌边界处理‌：

   • 当所有绳子总和不足以切出K条时（∑L[i] < K*x），算法会正确返回不可行
   • 当K=0时（虽然题目中K≥1），需要特殊处理

4. ‌精度保证‌：1e-4的精度足够保证最终结果的两位小数正确。

六、变式问题探讨

变式1：最少浪费切割

问题：在切割出至少K条相同长度绳子的前提下，使浪费的绳子总长度最小。

解法：仍然可以使用二分法，但需要修改判断函数，计算总浪费量。

变式2：多种长度组合

问题：允许切割出不同长度的绳子，但总数量为K，如何最大化最短绳子的长度。

解法：更复杂，可能需要动态规划或其他优化方法。

变式3：多维切割

问题：在二维或三维情况下切割（如布料切割、木材切割），求最大相同尺寸。

解法：二维二分查找，复杂度更高。

变式4：带成本约束

问题：每次切割都有成本，如何在成本约束下最大化切割数量或长度。

解法：可能需要结合背包问题等算法。

七、实际应用场景

1. ‌木材加工‌：将原木切割成相同长度的木材，最大化每段长度。

2. ‌布料裁剪‌：将大块布料分割成相同尺寸的小块，减少浪费。

3. ‌电缆切割‌：将长电缆切割成多段相同长度的小电缆。

4. ‌食品加工‌：将原材料分割成相同大小的份量。

5. ‌印刷排版‌：在固定大小的纸张上排列尽可能多的相同大小的图案。

在这些应用中，二分法提供了一种高效的解决方案，能够在保证精度的同时快速找到最优解。

总结

绳子切割问题展示了如何将一个看似复杂的问题通过适当的建模和算法选择转化为高效可解的方案。二分法在这个问题中展现了其强大的威力，特别是在处理具有单调性的连续优化问题时。通过合理的精度控制和边界处理，我们可以得到一个既高效又准确的解决方案。

理解这类问题的解法不仅有助于解决具体的绳子切割问题，更能培养我们将实际问题抽象化、模型化的思维能力，这对于解决各种工程和科学计算问题都具有重要意义。