Part 3R 导数应用与中值定理

洛必达法则的理解

\[\frac{0}{0}型 \]

准备：构造关键函数

即定义\(u(x)\big(f(x), g(x)\big)\)

• \(u\)这个函数\(x=a\)处导数可求\(\frac{f'(a)}{g'(a)}\)
• 原点线斜率为\(\frac{f(x)}{g(x)}\)

待建立的相等关系是：

\[\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\xlongequal{割线的极限是切线}u'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\xlongequal{利用u'在x=x_0的连续性}\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

对于\(\frac{\infty}{\infty}\)型，不便用这样的方法解决。

极、最值点、驻点需要考虑点集之间的关系

极值点与最值点

（极值点）：开区间内部导数为零的点和不可导点
（最值点）：（极值点）+闭区间端点

极值点与驻点

可导函数的极值点都是驻点。但如果没有给该点可导，则极值点不一定是驻点。
驻点左右单调性可以相同，所以不一定是极值点。

导数应用小专题

求极值点和拐点、求渐近线

见part 3

方程求根

• 零点定理；如果不能用就用
• 罗尔定理

零点定理结合单调性可以确定方程根的个数

不等式的证明

• 高中构造函数，利用单调性
• 拉格朗日定理
• 高中定界方法jc.p46.ex13