常用的偏微分方程

偏微分方程通常包含两个以上的自变量。若自变量同时间相关（或者无关），称其为发展型（或者稳态）的。下面，我们罗列出一些典型的偏微分方程，如：热传导方程、一阶双曲守恒律方程、二阶波动方程、椭圆型偏微分方程等。

• 抛物型偏微分方程通常刻画⼀个物理系统的扩散现象。典型的模型方程是热传导方程。$$u_t=\Delta u\equiv u_{xx}+u_{yy}+u_{zz},$$该式描述了在各向同性介质中热量的理想传播现象。
• 双曲型偏微分方程刻画了一个物理系统中的流动现象。
  一阶双曲守恒律方程$$u_t+f(u{)}_x=0$$描述了一个物理系统中的单向流动现象，例如水流、气流或者交通流等现象。当$f(u)=au$时，其中$a$是给定的常数，相应的双曲守恒律方程也称为对流方程。
  二阶波动方程$$u_{tt}=\Delta u,$$ 描述了在各向同性介质中声波的传播现象，不是单向流动。该方程也称为声波方程。
• 椭圆型偏微分方程是⼀个典型的稳态偏微分方程。它可以广泛地用于一个物理系统中的静力分析。
  二阶 Poisson 方程$$\Delta u=f$$常见于静电学、机械工程和理论物理中。当 $f=0$ 时，它称为 Laplace 方程，在数学理论研究中也具有非常重要的地位。例如，调和分析中的 Cauchy-Riemann 方程就是 Laplace 方程。
  四阶双调和方程$$\Delta \Delta u=f$$常见于连续介质力学，描述了先行塑性材料的扭曲变形规律。