山东大学 Random Algorithm 2019年 期末考试

Summary of Random Algorithm Course

  明天下午Random Algorithm 期末考试，再次总结下这门课程作为个人的再次复习。课程成绩包括平时的个人报告成绩以及最后的期末考试成绩。以下内容包括教材信息以及各章节的内容总结
  刚刚考完，附上回忆版试题

Textbook

 《Probability and Computing (Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis)》 by Michael Mitzenmacher and Eli Upfal
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Chapters of textbook

1. Chapter 1 Events and Probability
   这一章首先介绍了随机算法的概念，然后描述了两个使用了简单的随机算法的实例：验证代数恒等式(verifying algebraic identities) 和 在图中寻找最小割集(minimum cut-set in a graph), 在此过程中回顾了一些随机理论中的基本概念。
2. Chapter 2 Discrete Random Variables and Expectation
3. Chapter 3 Moments and Deviations
4. Chapter 4 Chernoff Bounds
5. Chapter 5 Balls, Bins and Random Graphs
6. Chapter 6 The Probabilistic Methods
7. Chapter 7 Markov Chains and Random Walks

试题（回忆版）

1. 伯努利试验和泊松试验的定义 （Chapter 3、4）
2. Markov不等式、Chebyshev不等式以及在泊松试验下的Chernoff界（Chapter 3、4）
3. Jensen不等式(Chapter 2)以及一般形式的Lovasz局部引理（Chapter 6）
4. 对于序列（1,2,…,n)进行置换，使得每个不同的序列出现的概率为1/n！。给出多项式算法并证明(随机序列索引并替换数字)
5. 随机扔硬币（正面概率为p），正面输出1，否则输出0，输出的结果序列为b₁b₂… 如果b_ib_i+1=01，输出1，若b_ib_i+1=10，输出0，否则不输出，输出的结果序列为q₁q₂… 证明最后的输出序列中出现1和出现0的概率相等(Chapter 2)
6. Markov Chain 的转移矩阵为$$\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}$$画出其状态转移图以及其 stationary distribution （Chapter 7）
7. 两个赌徒A，B互相赌钱，分别有l₁和l₂的钱，双方每一局的获胜概率为1/2，每局获胜的人拿走失败的人的一块钱，问A最后赢得所有钱的概率是多少？并证明（Chapter 7）
8. 图中的最小割集（Chapter 1）
   a) 随机在图中选一条边属于最小割集的概率最小为？
   b）每次随机选择图中的一条边并删掉，循环n-2次（n为顶点数），最后剩下两条边。此算法最终输出是最小割集的概率最小为？
   c）上述算法至少重复运行多少次后，才能保证算法输出出现最小割集的概率大于1-1/n²
9. MAX-SAT问题
   a）证明对于一种赋值，值为True的字句数的期望E(S)大于7/8*m （m为字句数，每个字句的变量大于3个）
   b）证明max{ E(S|x₁=T), E(S|x₁=F) }>E(S)
   c）利用b，求出一种赋值