求第n个斐波那契数（三种方法）的空间复杂度，时间复杂度

所需知识

递归
循环

斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

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算法的复杂度

【时间复杂度】：递归总次数*每次递归的次数
【空间复杂度】：递归的深度*每次递归空间的大小
【递归深度】：树的高度（递归的过程是一个”二叉树”）
【一般算法O(n)计算方法】：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

1.普通递归实现

#include
#include

long long fib1(long long n){
    if(n < 3)
        return 1;
    return fib(n-1)+fib(n-2);
}

int main(){
    long long n = 0;
    scanf("%llu",&n);
    printf("%llu\n",fib1(n));
    system("pause");
    return 0;
}

时间复杂度 : O(2^n)
空间复杂度：O(n)
求第n个斐波那契数，开辟n-1个空间

2.尾递归实现

尾递归指函数体内最后一句执行为一个递归，该次递归执行后不再改变函数体
因此若编译器选择优化，只开辟一块函数体的空间

long long fib2(long long first, long long second, long long n)
{
    if (n < 3)
        return 1;
    if (n == 3)
        return first + second;
    return fib2(second, first + second, n - 1);
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)—>优化O(1)

3.循环实现

long long fib3(long long n)
{
    long long first = 1, second = 1;
    long long ret = 0;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
    {
        ret = first + second;
        first = second;
        second = ret;
    }
    return second;
}

三种方法各调一次

int main()
{
    long long u = 0;
    scanf("%llu", &u);
    printf("第%d个斐波那契为%llu\n", u-2,fib1(u-2));
    printf("第%d个斐波那契数为%llu\n",u-1, fib1(u-1));
    printf("第%d个斐波那契数为%llu\n", u,fib3(1,1,u));
    system("pause");
    return 0;
}