单调栈

单调栈的定义：

元素顺序始终保持单调性（递增、递减）的栈。
（递增单调栈和递减单调栈的区别仅限于单调顺序不同，故以下为了方便讲解，默认提到的单调栈都为严格递增单调栈。）

维护方法：

压入新元素 \(x\) 时，将 \(x\) 与栈顶元素比较，若 \(x\) 小于等于栈顶元素，则将栈顶元素弹出，再与新的栈顶元素比较，直到 \(x\) 大于栈顶元素。

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举例：

有一组数7,8,9,2,10,13，将这6个数从左往右压入严格递增单调栈：
1、压入7，此时栈为空，无栈顶元素，操作完成后栈内元素为：{7}；
2、压入8，此时栈顶元素为7，7<8，故可以直接压入，操作完成后栈内元素为：{7、8}；
3、压入9，此时栈顶元素为8，8<9，故可以直接压入，操作完成后栈内元素为：{7、8、9}；
4、压入2，此时栈顶元素为9，9>2，故需要弹出栈顶元素9；同理，弹出8、7。此时栈为空，可以压入2，操作完成后栈内元素为：{2}；
5、压入10，此时栈顶元素为2，2<10，故可以直接压入，操作完成后栈内元素为：{2、10}；
6、压入13，此时栈顶元素为10，10<13，故可以直接压入，操作完成后栈内元素为：{2、10、13}；
7、清空栈内元素；

使用单调栈时，一般是在弹出元素的过程中进行统计操作（即x小于等于栈顶元素的情况）；

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例题：

Largest Rectangle in a Histogram

题目大意：给定 \(n\) 个高为 \(a_1、a_2、...、a_n\) 的柱子，求该柱状图中，可勾勒出的最大的矩形面积。

思路：选择某个柱子 \(i\) ，将 \(i\) 向两边拓展，若碰到比 \(a_i\) 高的柱子就接着拓展，若碰到比 \(a_i\) 小的柱子就停止拓展。
直接暴力做的时间复杂度是 \(O(n^2)\) ，但可以使用单调栈优化。
考虑向一个递增单调栈中按 \(i\) 从小到大的顺序压入 \(i\) ，设栈顶元素为 \(top\) ，若 \(a_i < a_top\) ，则在弹出 \(top\) 的同时，将答案 \(ans\) 与 \(top\) 向左右拓展可得的最大面积取 \(Max\)，并更新第 \(i\) 根柱子向左端能拓展到的最远处。
第 \(i\) 根柱子向最左端拓展的最远处可以在压入 \(i\) 之前弹出 \(top\) 的过程中更新，而最右端则应在弹出 \(i\) 的时候被更新。

代码：

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