【单调栈】-----【Bad Hair Day S】

P2866 [USACO06NOV] Bad Hair Day S

注意：洛谷题面翻译有误，原文是“height ≥”，即每头牛可以看到前方所有身高小于等于自己的连续牛。本题解已据此修正。
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题目描述

农夫约翰有 $N$ 头奶牛正在过乱头发节。

每一头牛都站在同一排面朝右，它们被从左到右依次编号为 $1,2,\cdots ,N$。编号为 $i$ 的牛身高为 $h_i$。第 $N$ 头牛在最前面，而第 $1$ 头牛在最后面。

对于第 $i$ 头牛前面的第 $j$ 头牛，如果 $h_i\ge h_{i+1},h_i\ge h_{i+2},\cdots ,h_i\ge h_j$，那么认为第 $i$ 头牛可以看到第 $i+1$ 到第 $j$ 头牛。

定义 $C_i$ 为第 $i$ 头牛所能看到的牛的数量。请帮助农夫约翰求出 $C_1+C_2+\cdots +C_N$。

输入格式

输入共 $N+1$ 行。

第一行为一个整数 $N$，代表牛的个数。
接下来 $N$ 行，每行一个整数 $a_i$，分别代表第 $1,2,\cdots ,N$ 头牛的身高。

输出格式

输出共一行一个整数，代表 $C_1+C_2+\cdots +C_N$。

输入输出样例 #1

输入 #1

6
10
3
7
4
12
2

输出 #1

5

说明/提示

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le N\le 8\times 10^4$，$1\le h_i\le 10^9$。

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题解（单调栈+非严格比较）

单调栈原理见本文

一、问题抽象

题目本质是要我们找出：每头牛向右看，最多能看到几头“连续不比它高”的牛，一旦遇到第一头比它高的牛，视线就终止。

这类“向右看”、“遇到第一个满足某条件的位置”问题，属于经典的 “下一个更大元素” 问题，可以用 单调栈 来高效求解。

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二、算法设计

➤ 单调栈的定义与使用：

• 我们从右往左遍历奶牛序列。

• 使用一个单调递减栈维护“当前可见的右侧牛的下标”：

  • 栈中存的是下标；
  • 栈内元素对应身高 从栈顶到栈底单调递减；
  • 每次遍历位置 $i$：

1. 把所有高度 < $h_i$ 的栈顶元素弹出；

2. 剩下的栈顶元素即为第一个右边比它高的牛；

• 记录该位置为 ender[i]，表示第 $i$ 头牛视线终止的位置；
• 若栈空，则说明 $i$ 后面所有牛都能看到，记为 n+1（越界标记）

3. 当前下标 $i$ 入栈，供更左边的牛判断用。

➤ 计算可见数量：

• 对于每个 $i$，能看到的是区间 $(i,\text{ender}[i])$ 的所有牛；
• 所以可见数量为：$\text{ender}[i]-i-1$；
• 这里注意栈空时的 越界标记 十分关键
• 累加所有 $i$ 的结果即可。

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三、样例模拟分析

以样例输入：

6
10
3
7
4
12
2

遍历过程中每个牛的 ender[i] 为：

牛编号 $i$	$h_i$	右边第一个更高的牛位置 ender[i]	可见数量 ender[i]-i-1
1	10	5	3
2	3	3	0
3	7	5	1
4	4	5	0
5	12	7	1
6	2	7	0

总和为 $3+0+1+0+1+0=5$，输出正确。

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四、完整代码：

#include 
using namespace std;
#define int long long  

signed main()
{
    int n;
    
    // 输入奶牛数量（从左到右为第 1 头到第 n 头）
    cin >> n;  
	
	// 下标从 1 开始，nums[i] 表示第 i 头牛的身高
    vector<int> nums(n + 1); 

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
    	// 输入每头牛的身高
        cin >> nums[i];  
    }
	
	// 单调栈（维护身高单调递减的下标序列）：
    // 用于寻找每头牛右边第一个“高度 ≥ 它”的牛的下标（即视线被阻挡的位置）
    stack<int> stk;

    
    // ender[i] 表示第 i 头牛能看到的最远牛的下标（不含该下标）
    vector<int> ender(n + 1);  

    // 从右往左处理：因为牛面朝右，所以我们从最右侧（编号 n）开始向左处理
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        // 弹出所有比当前牛矮的牛：这些牛会被当前牛挡住，无法成为其他牛能看到的目标
        // 当前牛只能看到它右边连续的“比它矮”或“与它等高”的牛，一旦遇到更高的牛，视线就被阻挡
        while (!stk.empty() && nums[stk.top()] < nums[i])
        {
	        // 栈顶牛比当前牛矮，会被当前牛挡住，移除
            stk.pop();  
        }

        // 如果栈为空，说明右边没有任何牛能阻挡当前牛的视线
        // 它可以看到直到最右边（n+1 相当于越界标记，很关键的技巧）
        // 否则，栈顶的牛是第一个比当前牛高或一样高的，它阻挡了视线
        ender[i] = stk.empty() ? (n + 1) : stk.top();

        // 当前牛入栈：作为它左边牛判断“视线终止点”的候选对象
        stk.push(i);
    }

    int ans = 0;  // 累计所有牛能看到的牛的总数

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 当前牛能看到的范围是 [i+1, ender[i]-1]
        // 一共 ender[i] - i - 1 头牛
        // 注意：之前记录答案时的越界标记很重要
        ans += (ender[i] - i - 1);
    }
	
	// 输出所有牛能看到的牛数总和
    cout << ans;  

    return 0;
}

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四、复杂度分析

操作	复杂度
遍历所有牛（从右向左）	$O(N)$
每个牛最多入栈一次，出栈一次	$O(N)$
最终总和计算	$O(N)$
总时间复杂度	$O(N)$
空间复杂度	$O(N)$（用于存栈和辅助数组）

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六、总结

• 本题本质是典型的““找右边第一个大于等于当前值的位置””的题型；
• 单调栈是一种非常高效的数据结构，适用于一类 “最近比我高/低的数” 问题；
• 注意栈中维护的是下标，实际比较的是身高；
• 遇到类似“能看到多少连续满足某条件的右边元素”的问题，优先考虑单调栈！

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