Unity之向量

向量表示的是方向和大小，与位置距离无关

三维空间的表示如下

在unity3d中采用的struct来描述的Vector3

 namespace UnityEngine
 {
     public struct Vector3
     {

         public float x;
         public float y;
         public float z;
          }
 }

向量的长度:向量的大小（或长度）称为向量的模

 public float magnitude
 {
     get
     {
         return Mathf.Sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z);
     }
 }

 public float sqrMagnitude
 {
     get
     {
         return this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z;
     }
 }

三维空间中两点的距离

 public static float Distance(Vector3 a, Vector3 b)
 {
     Vector3 vector = new Vector3(a.x - b.x, a.y - b.y, a.z - b.z);
     return Mathf.Sqrt(vector.x * vector.x + vector.y * vector.y + vector.z * vector.z);
 }

向量加法

 public static Vector3 operator +(Vector3 a, Vector3 b)
 {
     return new Vector3(a.x + b.x, a.y + b.y, a.z + b.z);
 }

向量减法

 public static Vector3 operator -(Vector3 a, Vector3 b)
 {
     return new Vector3(a.x - b.x, a.y - b.y, a.z - b.z);
 }

向量点积(dot product)又称数量积或内积

 public static float Dot(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
 {
     return lhs.x * rhs.x + lhs.y * rhs.y + lhs.z * rhs.z;
 }

根据公式A.B = |A||B|cos(a)得出两个向量之间的弧度的角度

 public static float AngleBetween(Vector3 from, Vector3 to)
     {
         return Mathf.Acos(Mathf.Clamp(Vector3.Dot(from.normalized, to.normalized), -1f, 1f));
     }

 public static float Angle(Vector3 from, Vector3 to)
     {
         return Mathf.Acos(Mathf.Clamp(Vector3.Dot(from.normalized, to.normalized), -1f, 1f)) * 57.29578f;//角度
     }

弧度=角度乘以π后再除以180

角度=弧度除以π再乘以180

其中a是A和B在3D空间中的夹角。如果已知两个向量，使用数量积我们就可以通过计算求得两个向量的夹角

判断目标在自己的前后方位可以使用下面的方法:

Vector3.Dot(transform.forward, target.position)

返回值为正时,目标在自己的前方,反之在自己的后方

向量叉积 ：U和V的向量积（cross product，矢量积或外积）产生一个向量，它垂直于U和V，公式：U × V = n |U| |V| sin(a)，其中n为垂直于U和V的单位向量，a是U和V的夹角

 public static Vector3 Cross(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
 {
     return new Vector3(lhs.y * rhs.z - lhs.z * rhs.y, lhs.z * rhs.x - lhs.x * rhs.z, lhs.x * rhs.y - lhs.y * rhs.x);
 }

 判断目标在自己的左右方位可以使用下面的方法:

 Vector3.Cross(transform.forward, target.position).y

 返回值为正时,目标在自己的右方,反之在自己的左方

数乘向量:实数λ与向量b的积是一个向量，记作：a=λb。规定：当λ为正时，同向；当λ为负时，反向；实数λ，叫做向量的系数。数乘向量的几何意义就是把向量沿着相同方向或反方向放大或缩小

 public static Vector3 operator *(Vector3 a, float d)
 {
     return new Vector3(a.x * d, a.y * d, a.z * d);
 }

 public static Vector3 operator *(float d, Vector3 a)
 {
     return new Vector3(a.x * d, a.y * d, a.z * d);
 }

向量比较：

 public static bool operator ==(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
 {
     return Vector3.SqrMagnitude(lhs - rhs) < 9.99999944E-11f;
 }

 public static bool operator !=(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
 {
     return Vector3.SqrMagnitude(lhs - rhs) >= 9.99999944E-11f;
 }

向量的规范化: 向量的规范化也称（归一化）就是使向量的模变为1，即变为单位向量。可以通过将向量都除以该向量的模来实现向量的规范化。规范化后的向量相当于与向量同方向的单位向量，可以用它表示向量的方向。由于方向的概念在3D编程中非常重要，所以此概念也很重要，单位向量有很多重要的性质，在表示物体表面的法线向量时用的更是频繁 

 public static Vector3 Normalize(Vector3 value)
 {
     float num = Vector3.Magnitude(value);
     if (num > 1E-05f)
     {
         return value / num;
     }
     return Vector3.zero;
 }

投影:一般用于透视，下图u'是u在v上的投影，向量u和v的夹角为theta，d就是u’的长度，而u’和v的方向是相同的，v/|v|也就是u’的方向

 public static Vector3 Project(Vector3 vector, Vector3 onNormal)
 {
     float num = Vector3.Dot(onNormal, onNormal);
     if (num < 1.17549435E-38f)
     {
         return Vector3.zero;
     }
     return onNormal * Vector3.Dot(vector, onNormal) / num;
 }

反射向量: 下图入射光线向量I和平面法向量N，R为反射向量，R=I-2（I.N）N

推导如下：

设入射光线向量I和反射平面的法向量N之间的夹角为theta。连接I的始端和R的末端，则有R = 2P - I 

设入射点0到P与N的交点的向量为S，那么有P = I + S 

向量S即向量-N（注意，这里是-N，因为S和N的方向相反。）在向量N上的投影，根据向量的投影公式有,简化后有：S=-（I.N）N，将R和P代入，有R=I-2（I.N）N

 public static Vector3 Reflect(Vector3 inDirection, Vector3 inNormal)
 {
     return -2f * Vector3.Dot(inNormal, inDirection) * inNormal + inDirection;
 }