从一个小例子看贝叶斯公式的应用（学习简单、基础、入门的例子）

#从一个小例子看贝叶斯公式的应用

###应用Bayesian公式考察如下的实例并回答问题。

张某为了解自己患上了X疾病的可能性，去医院作常规血液检查。其结果居然为阳性，他赶忙到网上查询。根据网上的资料，血液检查实验是有误差的，这种实验有“1%的假阳性率和1%的假阴性率”（真的患病者得到阴性结果称为假阴性，未患病的人得到阳性结果称为假阳性）。即在得病的人中做实验，有1%的概率是假阴性，99％是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的概率是假阳性，99％是真阴性。于是张某根据这种解释，估计他自己得了X疾病的概率为99%。张某的推理是，既然只有1%的假阳性率，那么，99%都是真阳性，那我已被感染X病的概率便应该是99%。

张某咨询了医生，医生说：“99%？哪有那么大的感染几率啊。99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的正常比例是不大的，1000个人中只有一个人有X病。”

张某不放心，又做了一个尿液检查，进一步检查他患上了X疾病的可能性，其结果仍然为阳性，尿液检查的实验有“5%的假阳性率和5%的假阴性率”。

a）张某初始计算感染X病的概率是99%，问题出在哪？
b）张某在血液检查之后感染X病的概率是多少？
c）张某在血液和尿液检查之后得X病的概率是多少？
d）如果根据张某的家族遗传信息，他得X病的概率是百分之一，请问结合血液和尿液检查结果，张某得X病的概率是多少？

a） 在这个例子中，张某由于没有认识到X疾病在人群中的患病率对于自己患病率的影响，从而得出了错误的结论。换言之，虽然，真阳性率+假阳性率=100%，反问，难道所有人都是阳性吗？张某错误的结论建立在所有人都是阳性的基础之下。

b）那么张某在血液检查之后的患病率是多少呢？画一张图来说明问题。

由此，根据贝叶斯公式，可以计算张某在血液检查后患病的概率为：
$$P(患/阳)=\frac{P(患)\ast P(阳/患)}{P(患)\ast P(阳/患)+P(不患)\ast P(阳/不患)}=\frac{99\%\ast 1/1000}{99\%\ast 1/1000+1\%\ast 999/1000}\approx 9\%$$

c）在血液检查之后，我们算得了张某患病的概率，相对于原来的$1/1000$，在检验血液阳性的条件下的患病的概率增加为了$9\%$。在这样的前题之下，我们又对张某的尿液进行检查，检验为阳性。那么此时患病的概率计算方式同前，只不过是患病的概率更新为了$9\%$。如图所示：

同样地，由贝叶斯公式，有：

$$P_{尿}(患/阳)=\frac{P_{尿}(患)\ast P_{尿}(阳/患)}{P_{尿}(患)\ast P_{尿}(阳/患)+P_{尿}(不患)\ast P_{尿}(阳/不患)}=\frac{95\%\ast 9\%}{95\%\ast 9\%+5\%\ast 91\%}\approx 65\%$$

d） 根据张某的家族患病率，我们知道在没有任何先验信息的前题下张某的患病率为$1\%$而不是$1/1000$，利用这个数值，重新进行以上的两步计算，即可知根据张某的家族遗传信息，结合血液和尿液检查结果，张某得X病的概率。计算如下：

$$P(患/阳)=\frac{P(患)\ast P(阳/患)}{P(患)\ast P(阳/患)+P(不患)\ast P(阳/不患)}=\frac{99\%\ast 1/100}{99\%\ast 1/100+1\%\ast 99/100}\approx 50\%$$
$$P_{尿}(患/阳)=\frac{P_{尿}(患)\ast P_{尿}(阳/患)}{P_{尿}(患)\ast P_{尿}(阳/患)+P_{尿}(不患)\ast P_{尿}(阳/不患)}=\frac{95\%\ast 50\%}{95\%\ast 50\%+5\%\ast 50\%}\approx 95\%$$

这就是说，在家族患病率和两次检查这样的前题之下，两次利用贝叶斯公式计算知张某得病的概率高达95%。

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