基础知识梳理1——范数

向量范数 y = f(v)：

1.   p(av) = |a| p(v), (absolute homogeneity or absolute scalability).

2.   p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangle inequality or subadditivity).

3.   If p(v) = 0 then v is the zero vector (separates points).

L0范数：向量非零值个数  L1范数： 绝对值的和      L2范数：平方和再开方      L∞范数：最大绝对值

矩阵范数：

1.    诱导范数：

                                                                   (1.1)

得到分别从属于L1, L2, L∞范数的矩阵范数：

1范数：列绝对值的和的最大值        2范数（谱范数（注：谱半径是最大特征值））：最大奇异值    ∞范数：行绝对值的和的最大值

2.    元素形式范数：

m1范数：所有元素绝对值的和          F-范数（Frobenius）：所有元素平方和再开方

3.    其他形式范数

核范数：奇异值的和 

低秩矩阵恢复所求问题为：

                     (1.2)

Ω是完整矩阵（数据）的一个子集，

                                                                    (1.3)

       因为此问题NP-hard，通常用核范数代替（核范数是秩的凸近似），即求解：

                                                                               (1.4)

       参考资料：http://www.eecs.berkeley.edu/~ehsan.elhamifar/EE290A/NoisyMatrixCompletion.pdf