【DL笔记4】神经网络详解，正向传播和反向传播

好久没写了，之前是每周都会写一两篇，前段时候回家陪爸妈旅游了￣▽￣，这段时候又在学习keras并复现一些模型，所以一直没写。今天8月第一天，赶紧写一篇，免得手生了。
之前的笔记：
【DL笔记1】Logistic回归：最基础的神经网络
【DL笔记2】神经网络编程原则&Logistic Regression的算法解析
【DL笔记3】一步步亲手用python实现Logistic Regression
主要讲了Logistic regression的内容，里面涉及到很多基本概念，是学习神经网络的基础。下面我们由Logistic regression升级到神经网络，首先我们看看“浅层神经网络（Shallow Neural Network）”

一、什么是神经网络

我们这里讲解的神经网络，就是在Logistic regression的基础上增加了一个或几个隐层（hidden layer），下面展示的是一个最最最简单的神经网络，只有两层：

两层神经网络

需要注意的是，上面的图是“两层”，而不是三层或者四层，输入和输出不算层!
这里，我们先规定一下记号（Notation）：

• z是x和w、b线性运算的结果，z=wx+b；
• a是z的激活值；
• 下标的1,2,3,4代表该层的第i个神经元（unit）；
• 上标的[1],[2]等代表当前是第几层。
• y^代表模型的输出，y才是真实值，也就是标签

另外，有一点经常搞混：

• 上图中的x1，x2，x3，x4不是代表4个样本！
  而是一个样本的四个特征（4个维度的值）！
  你如果有m个样本，代表要把上图的过程重复m次：
  
  

神经网络的“两个传播”：

• 前向传播（Forward Propagation）
  前向传播就是从input，经过一层层的layer，不断计算每一层的z和a，最后得到输出y^ 的过程，计算出了y^，就可以根据它和真实值y的差别来计算损失（loss）。
• 反向传播（Backward Propagation）
  反向传播就是根据损失函数L(y^,y)来反方向地计算每一层的z、a、w、b的偏导数（梯度），从而更新参数。
  
  

  前向传播和反向传播

每经过一次前向传播和反向传播之后，参数就更新一次，然后用新的参数再次循环上面的过程。这就是神经网络训练的整个过程。

二、前向传播

如果用for循环一个样本一个样本的计算，显然太慢，看过我的前几个笔记的朋友应该知道，我们是使用Vectorization，把m个样本压缩成一个向量X来计算，同样的把z、a都进行向量化处理得到Z、A，这样就可以对m的样本同时进行表示和计算了。（不熟悉的朋友可以看这里：传送门）

这样，我们用公式在表示一下我们的两层神经网络的前向传播过程：
Layer 1:
Z^[1] = W^[1]·X + b^[1]
A^[1] = σ(Z^[1])
Layer 2:
Z^[2] = W^[2]·A^[1] + b^[2]
A^[2] = σ(Z^[2])

而我们知道，X其实就是A^[0]，所以不难看出:
每一层的计算都是一样的：
Layer i:
Z^[i] = W^[i]·A^[i-1] + b^[i]
A^[i] = σ(Z^[i])
（注：σ是sigmoid函数）
因此，其实不管我们神经网络有几层，都是将上面过程的重复。

对于损失函数，就跟Logistic regression中的一样，使用“交叉熵（cross-entropy）”，公式就是

• 二分类问题：
  L(y^,y) = -[y·log(y^ )+(1-y)·log(1-y^ )]
• 多分类问题：
  L=-Σy_(j)·y^_(j)

这个是每个样本的loss，我们一般还要计算整个样本集的loss，也称为cost，用J表示，J就是L的平均：
J(W,b) = 1/m·ΣL(y^⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾)

上面的求Z、A、L、J的过程就是正向传播。

三、反向传播

反向传播说白了根据根据J的公式对W和b求偏导，也就是求梯度。因为我们需要用梯度下降法来对参数进行更新，而更新就需要梯度。
但是，根据求偏导的链式法则我们知道，第l层的参数的梯度，需要通过l+1层的梯度来求得，因此我们求导的过程是“反向”的，这也就是为什么叫“反向传播”。

具体求导的过程，这里就不赘述了，有兴趣的可以自己推导，虽然我觉得多数人看到这种东西都不想推导了。。。（主要还是我懒的打公式了T_T"）

而且，像各种深度学习框架TensorFlow、Keras，它们都是只需要我们自己构建正向传播过程，反向传播的过程是自动完成的，所以大家也确实不用操这个心。

进行了反向传播之后，我们就可以根据每一层的参数的梯度来更新参数了，更新了之后，重复正向、反向传播的过程，就可以不断训练学习更好的参数了。

四、深层神经网络（Deep Neural Network）

前面的讲解都是拿一个两层的很浅的神经网络为例的。
深层神经网络也没什么神秘，就是多了几个/几十个/上百个hidden layers罢了。
可以用一个简单的示意图表示：

深层神经网络

注意，在深层神经网络中，我们在中间层使用了“ReLU”激活函数，而不是sigmoid函数了，只有在最后的输出层才使用了sigmoid函数，这是因为ReLU函数在求梯度的时候更快，还可以一定程度上防止梯度消失现象，因此在深层的网络中常常采用。关于激活函数的问题，可以参阅：
【DL笔记】神经网络中的激活（Activation）函数及其对比

关于深层神经网络，我们有必要再详细的观察一下它的结构，尤其是每一层的各个变量的维度，毕竟我们在搭建模型的时候，维度至关重要。

深层神经网络

我们设:
总共有m个样本，问题为二分类问题（即y为0,1）；
网络总共有L层，当前层为l层（l=1,2,...,L）；
第l层的单元数为n ^[l]；
那么下面参数或变量的维度为：

• W^[l]:(n^[l],n^[l-1])（该层的单元数，上层的单元数）
• b^[l]:(n^[l],1)
• z^[l]:(n^[l],1)
• Z^[l]:(n^[l],m)
• a^[l]:(n^[l],1)
• A^[l]:(n^[l],m)
• X:(n^[0],m)
• Y:(1,m)

可能有人问，为什么W和b的维度里面没有m？
因为W和b对每个样本都是一样的，所有样本采用同一套参数（W，b），
而Z和A就不一样了，虽然计算时的参数一样，但是样本不一样的话，计算结果也不一样，所以维度中有m。

深度神经网络的正向传播、反向传播和前面写的2层的神经网络类似，就是多了几层，然后中间的激活函数由sigmoid变为ReLU了。

That's it！以上就是神经网络的详细介绍了。
接下来的文章会介绍神经网络的调参、正则化、优化等等问题，以及TensorFlow的使用，并用TF框架搭建一个神经网络！
往期文章：
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