斐波那契数列（Fibonacci）

—在自然界中，很多想象都符合斐波那契数列，如植物的叶、花、茎等排列中都可找到这种规律。

首先看一个著名的、经典的斐波那契数列例子：兔子家族
——斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子（假设每产一对兔子必须为一雌一雄），而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？

根据题意可以知道，每个月的兔子数量和上个月以及上上个月的数量密切相关
第一月：1对小兔。
第二月：1对成年兔。
第三月：1对成年兔+第二月成年兔所生小兔1对。
第四月：2对成年兔+第三月成年兔所生小兔1对。
第五月：3对成年兔+第三月成年兔所生小兔2对。
……
若设F(n)表示第n个月的兔子数量，则：
F(1) = 1
F(2) = 1
F(3) = F(2)+F(1) = 1+1 = 2
F(4) = F(3)+F(2) = 2+1 = 3
F(5) = F(4)+F(3) = 3+2 = 5
……
不难发现，从第三个月开始，后一个月的兔子总数为前两个月数量之和，即：
F（n）=F(n-1)+F(n-2) (n>2)
这样很快便可以得出一年之后的兔子为144对。各个月份的兔子数量组成了一个序列，即：
1 、1 、2 、3 、5 、8、13 、21 、34 、55 、89 、144 、……
这个序列从第三项起，每一项都等于前两项之和，这样的序列就称为斐波那契数列。而在数学上，可以通过递归的方法来定义：

⎧⎩⎨F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2 n =0 (F0作为递归的结束项) n =1  n≥2

此算法的复杂度为 O(n)2
C语言代码实现：

#include
typedef long long LL;
LL Fib(LL n)
{
    if(n==0) return 0;
    else if(n==1) return 1;
    else return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{
    LL f,i;
    while(~scanf("%lld",&f))
    printf("F(%lld)=%lld\n",f,Fib(f));

    return 0;
}

当然，在数据较大的时候，递归很慢，那不用递归要如何实现呢（方法貌似有很多，然而我并不会。。。orz）?
斐波那契数（又称黄金数列，当n趋近与无穷大时，数列后项与前项的比值的极限为黄金分割比）与黄金分割率及其共轭数有关，它们是下列线性递推特征方程的两个根：

x2=x+1

解得：

⎧⎩⎨x1=1+5√2x2=1−5√2

所以 F(n)=C1∗xn1+C2∗xn2
将初始条件 F(1)=1，F(2)=1 带入解得 C1=15√,C2=−15√
所以得计算第n项斐波那契数公式：
F(n)=15√[(1+5√2)n−(1−5√2)n]
斐波那契数列的题目时常遇到,
如 HDU2044 一只小蜜蜂、

#include 
#define N 51 
int main()
{
    int i,a, b, n;
    __int64 d[N] = {1, 1, 2,};
    for (i = 3; i < N; i++)
        d[i] = d[i-1] + d[i-2];
    scanf("%d", &n);
    while (n-- && scanf("%d%d", &a, &b) != EOF)
        printf("%I64d\n", a > b ? 0 : d[b-a]);
    return 0;
}

HDU2041 超级楼梯、

#include
int main()
{
    int i,N,M;
    __int64 f[40],kind=0;
    f[1]=0,f[2]=1,f[3]=2;
    for(i=4;i<=40;i++)
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    scanf("%d",&N);
    while(N--){
        scanf("%d",&M);
        printf("%I64d\n",f[M]);
    }
    return 0;
}

HDU1568 Fibonacci（用到上文公式）、
到这个题的数据范围,0(n)的时间复杂度是不行的。那么肯定有什么公式（即上文公式），不过要先对公式取对数。详情请自行百度该题题解（毕竟我也是看了题解的，，，，，，orz）。

题目很多，有兴趣可以做一下、

斐波那契的应用及其广泛，如许多人将黄金分割比和斐波那契数用来分析股市。在自然界中也随处可见，如蜜蜂的繁殖规律、向日葵种子排列方式、菠萝果实上的菱形鳞片的排列、树的分枝、仙人掌的结构、钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……（感兴趣可自行了解），这个数列既是数学美的完美体现，又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系。从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学的认知更加系统化。因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的.
更多有关斐波那契数列信息请百度百科 斐波那契数列
（ps:不足之处，还望各位不吝赐教）