算法导论--学习笔记

第一课时：

Insertion sort（插入排序）

分析算法

Merge sort（归并排序）

第二课时：

渐进符号，递归和解法

渐进符号

解递归式

第三课时：

Divide-and-Conquer——分治法：

 

Insertion sort（插入排序）：

def insertion_sort(list):
    if len(list) <= 1:
        return list
    for i in range(1, len(list)):
        temp = list[i]
        j = i-1
        while j >= 0 and temp < list[j]:
            list[j+1] = list[j]
            j -= 1
        list[j+1] = temp
    return list

分析算法：

running time(运行时间影响因素）：输入（输入有序时间就会少很多,输入逆序是插入排序最差的情况)，输入规模（待排序数列的大小），运行时间上界。

• Waste-case(usually)（最坏情况）:T(n) = 定义为输入规模为n时的最长运行时间。
• Average-case（平均情况）:T(n) = 定义为所有情况下的期望运行时间（有假设前提）
• Best-case（cheat）（最好情况）:T( n) = 定义为最好情况下的运行时间
• Big idea of algorithms: 不关心算法的实际运行时间，而是关注运行时间的增长程度。

Merge sort（归并排序）：

def merge_sort(list):
    if len(list) <= 1:
        return list
    n = len(list)
    for i in range(n):
       

Tips：从n到1的折半次数是lgn。 

渐进符号，递归和解法

渐进符号：

• O符号（渐进符号）：O(g(n)) = {f(n): 存在正常量c和n0，使得对所有n>=n0,有0<=f(n)<=cg(n)。f(n) = O(g(n)), 只要满足0<=f(n)<=c*g(n),仅仅要求g(n)的某个常量倍数是f(n)的渐进上界，而不要求它是一个多么紧确的上界。
• Ω符号： Ω(g(n)) = {f(n): 存在正常量c和n0，使得对所有n>=n0,有0<=cg(n)<=f(n)。f(n) = Ω(g(n))。渐进下界
• 符号：Ω(g(n)) = {f(n): 存在正常量c1，c2和n0，使得对所有n>=n0,有0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)。渐进紧确界
• o符号：和大O类似，主要区别在于o定义中是对于所有正常量c成立，而大O是存在正常量c成立。
• 符号：和Ω类似，区别在于是对所有正常量c成立。

解递归式：

1. 代入法: （1)猜测解形式；（2）用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。
2. 递归树：   （可以使用递归树解递归式，然后用代入法进行验证）
3. 主方法：只能应用到特定的递归式上T(n)；f(n)渐进趋正（means存在某特定n0，当n>=n0时，f(n)>=0）；                                         用递归树证明主方法。

           

            

tips： 

第三课时：算法设计

Divide-and-Conquer——分治法：

1. divide；将一个问题分解为若干个子问题
2. conquer；递归的解决每个子问题
3. combine.将子问题的解结合成大问题的解

example：

主方法求解时间复杂度。

归并排序：主方法求解归并排序的时间复杂度。

二分查找：T(n) = lgn

乘方问题：x的n次幂。 

斐波那契数： 斐波那契数列由如下递推关系式定义： F(0)=0, F(1)=1, n>1时，F(n)=F(n-1)+F(n-2)

• 递归法，时间复杂度高Time：
• 迭代法，Time：
• 朴素递归式：自定向向下求解问题，导致了大量的重复求解,nlgn，实际由于浮点数什么的在现实条件下不能实现？没听懂有没有大佬解释一下下
• 平方递归
• 矩阵乘法，

                                                                

矩阵乘法的strassen算法：

绕过乘法，