扩展欧几里德算法 递归法 递推法 手算法 原理及实现

扩展欧几里德算法 递归法 递推法 手算法 原理及实现

顾名思义, 扩展欧几里德算法 是在 欧几里德算法 基础上扩展的算法.

欧几里德算法 和 扩展欧几里德算法 在用途上的区别:

• 欧几里德算法(gcd): 即求两个整数的 最大公约数.
• 扩展欧几里德算法:
  • 用于求 乘法逆元.
  • 用于求 贝组等式 的一个解.

欧几里德算法

即 辗转相除法.

C 语言实现:

int gcd(int a, int b) {
   
  return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

注意此算法的 终止条件 是 b == 0.

扩展欧几里德-递归法

设初始值: $a_1=m$, $b_1=n$, 且 $m>n$.

设 $a_1{x}_1+b_1{y}_1=\gcd (a_1,b_1)$, 则:

在 欧几里德算法 中, $a_{i+1}=b_i,b_{i+1}=a_i\mathrm{mod}{b}_i$, 所以:

• $a_2{x}_2+b_2{y}_2=b_1{x}_2+(a_1\mathrm{mod}{b}_1)y_2=\gcd (a_2,b_2)$.

因为 $a_1\mathrm{mod}{b}_1=a_1-(a_1/b_1)\cdot b_1$ (其中的 / 为整除). 得:

• $a_1{x}_1+b_1{y}_1=b_1{x}_2+(a_1-(a_1/b_1)b_1)y_2=a_1{y}_2+b_1(x_2-(a_1/b_1)y_2)$

所以得到 $x_1=y_2,y_1=x_2-(a_1/b_1)y_2$.

由以上推广得到:

推论 1: $\boxed{x_i=y_{i+1},y_i=x_{i+1}-(a_i/b_i)y_{i+1}}$

在 欧几里德算法 中, 迭代的终止条件是 b == 0, 并且此时 $a_i{x}_i+b_i{y}_i=\gcd (a_i,b_i)=\gcd (a_i,0)=a_i$, 显然此时的 $x_i=1,y_i=0$, 所以有:

推论 2: $\boxed{当b_i=0时,x_i=1,y_i=0.}$

以上标识符(比如 $a_1$, $b_2$)的下标数字是指在 欧几里德算法 的 gcd() 函数里的迭代次数.

为了更好的理解, 下面用实例进行说明, 假设 m = 1756, n = 551, $q$ 代表 $a/b$, / 表示整除:

(1) $a_1=1756b_1=551q_1=3$

(2) $a_2=551b_2=103q_2=5$

(3) $a_3=103b_3=36q_3=2$

(4) $a_4=36b_4=31q_4=1$

(5) $a_5=31b_5=5q_5=6$

(6) $a_6=5b_6=1q_6=5$

(7) $a_7=1b_7=0$ ($b_7$ 为 0, 终止, 所以 $x_7=1,y_7=0$)

因为我们要求的是 $x_1,y_1$ 于是乎:

• 递归最深处: 返回 $x_7=1,y_7=0$.

• 第 6 深: 返回

  $\begin{array}{rl}{x}_6& =y_7=0\end{array}$

  y 6 = x 7 − q 6 y 7