【算法】力扣体系分类
第一章 算法基础题型
1.1 排序算法题
1.1.1 冒泡排序相关题
冒泡排序是一种简单的排序算法，它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
常见题型
- 数组排序：给定一个无序数组，使用冒泡排序将其按升序或降序排列。例如，对于数组
[5, 3, 8, 4, 2]，经过冒泡排序后变为[2, 3, 4, 5, 8]。 - 排序过程模拟：要求写出冒泡排序每一轮的具体交换过程，帮助理解算法的执行步骤。
示例代码（Python）
def bubble_sort(arr):
n = len(arr)
for i in range(n):
for j in range(0, n - i - 1):
if arr[j] > arr[j + 1]:
arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
return arr
arr = [5, 3, 8, 4, 2]
print(bubble_sort(arr)) # 输出: [2, 3, 4, 5, 8]
1.1.2 选择排序相关题
选择排序是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到全部待排序的数据元素排完。
常见题型
- 数组排序：和冒泡排序类似，给定无序数组，用选择排序进行排序。
- 优化选择排序：在基本选择排序的基础上，考虑如何减少比较次数或交换次数。
示例代码（Python）
def selection_sort(arr):
n = len(arr)
for i in range(n):
min_idx = i
for j in range(i + 1, n):
if arr[j] < arr[min_idx]:
min_idx = j
arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]
return arr
arr = [5, 3, 8, 4, 2]
print(selection_sort(arr)) # 输出: [2, 3, 4, 5, 8]
1.1.3 插入排序相关题
插入排序是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。
常见题型
- 数组排序：对给定数组使用插入排序进行排序。
- 部分有序数组排序：如果数组已经部分有序，插入排序的效率会更高，可针对这种情况出题。
示例代码（Python）
def insertion_sort(arr):
for i in range(1, len(arr)):
key = arr[i]
j = i - 1
while j >= 0 and key < arr[j]:
arr[j + 1] = arr[j]
j -= 1
arr[j + 1] = key
return arr
arr = [5, 3, 8, 4, 2]
print(insertion_sort(arr)) # 输出: [2, 3, 4, 5, 8]
1.1.4 快速排序相关题
快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略来把一个串行（list）分为两个子串行（sub-lists）。
常见题型
- 数组排序：用快速排序对数组进行排序。
- 快速排序的优化：如随机选择基准元素，避免最坏情况的发生。
示例代码（Python）
def quick_sort(arr):
if len(arr) <= 1:
return arr
else:
pivot = arr[0]
left = [x for x in arr[1:] if x <= pivot]
right = [x for x in arr[1:] if x > pivot]
return quick_sort(left) + [pivot] + quick_sort(right)
arr = [5, 3, 8, 4, 2]
print(quick_sort(arr)) # 输出: [2, 3, 4, 5, 8]
1.1.5 归并排序相关题
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。
常见题型
- 数组排序：使用归并排序对数组进行排序。
- 链表排序：归并排序也适用于链表，可出相关题目。
示例代码（Python）
def merge_sort(arr):
if len(arr) <= 1:
return arr
mid = len(arr) // 2
left = merge_sort(arr[:mid])
right = merge_sort(arr[mid:])
return merge(left, right)
def merge(left, right):
result = []
i = j = 0
while i < len(left) and j < len(right):
if left[i] < right[j]:
result.append(left[i])
i += 1
else:
result.append(right[j])
j += 1
result.extend(left[i:])
result.extend(right[j:])
return result
arr = [5, 3, 8, 4, 2]
print(merge_sort(arr)) # 输出: [2, 3, 4, 5, 8]
1.1.6 堆排序相关题
堆排序是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
常见题型
- 数组排序：使用堆排序对数组进行排序。
- 堆的构建和调整：考察对堆的基本操作，如构建最大堆或最小堆。
示例代码（Python）
def heapify(arr, n, i):
largest = i
l = 2 * i + 1
r = 2 * i + 2
if l < n and arr[i] < arr[l]:
largest = l
if r < n and arr[largest] < arr[r]:
largest = r
if largest != i:
arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
heapify(arr, n, largest)
def heap_sort(arr):
n = len(arr)
for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
heapify(arr, n, i)
for i in range(n - 1, 0, -1):
arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i]
heapify(arr, i, 0)
return arr
arr = [5, 3, 8, 4, 2]
print(heap_sort(arr)) # 输出: [2, 3, 4, 5, 8]
1.2 搜索算法题
1.2.1 线性搜索相关题
线性搜索是一种在数组中查找特定元素的简单方法。它从数组的第一个元素开始，逐个检查每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个数组。
常见题型
- 查找元素位置：给定一个数组和一个目标值，找出目标值在数组中的位置。
- 判断元素是否存在：判断数组中是否存在某个元素。
示例代码（Python）
def linear_search(arr, target):
for i in range(len(arr)):
if arr[i] == target:
return i
return -1
arr = [5, 3, 8, 4, 2]
target = 8
print(linear_search(arr, target)) # 输出: 2
1.2.2 二分搜索相关题
二分搜索是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。它每次将搜索范围缩小一半，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
常见题型
- 查找元素位置：在有序数组中查找目标元素的位置。
- 查找第一个或最后一个出现的位置：对于有重复元素的有序数组，查找目标元素第一次或最后一次出现的位置。
示例代码（Python）
def binary_search(arr, target):
left, right = 0, len(arr) - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if arr[mid] == target:
return mid
elif arr[mid] < target:
left = mid + 1
else:
right = mid - 1
return -1
arr = [2, 3, 4, 5, 8]
target = 5
print(binary_search(arr, target)) # 输出: 3
1.2.3 广度优先搜索（BFS）相关题
广度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它从根节点开始，逐层地访问节点，直到找到目标节点或遍历完整个图。
常见题型
- 最短路径问题：在图中找到从起点到终点的最短路径。
- 层序遍历：对树进行层序遍历。
示例代码（Python，图的 BFS）
from collections import deque
graph = {
'A': ['B', 'C'],
'B': ['A', 'D', 'E'],
'C': ['A', 'F'],
'D': ['B'],
'E': ['B', 'F'],
'F': ['C', 'E']
}
def bfs(graph, start):
visited = set()
queue = deque([start])
visited.add(start)
while queue:
vertex = queue.popleft()
print(vertex, end=" ")
for neighbor in graph[vertex]:
if neighbor not in visited:
queue.append(neighbor)
visited.add(neighbor)
bfs(graph, 'A') # 输出: A B C D E F
1.2.4 深度优先搜索（DFS）相关题
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。
常见题型
- 路径查找：在图中找到从起点到终点的一条路径。
- 连通分量：找出图中的所有连通分量。
示例代码（Python，图的 DFS）
graph = {
'A': ['B', 'C'],
'B': ['A', 'D', 'E'],
'C': ['A', 'F'],
'D': ['B'],
'E': ['B', 'F'],
'F': ['C', 'E']
}
def dfs(graph, start, visited=None):
if visited is None:
visited = set()
if start not in visited:
print(start, end=" ")
visited.add(start)
for neighbor in graph[start]:
dfs(graph, neighbor, visited)
dfs(graph, 'A') # 输出: A B D E F C
1.3 哈希表相关题
1.3.1 哈希表基础应用
哈希表是根据键（Key）而直接访问在内存存储位置的数据结构。它通过哈希函数将键映射到存储桶中，从而实现快速的插入、查找和删除操作。
常见题型
- 统计元素频率：给定一个数组，统计每个元素出现的次数。
- 查找重复元素：找出数组中重复出现的元素。
示例代码（Python）
arr = [1, 2, 3, 2, 4, 3, 5]
frequency = {}
for num in arr:
if num in frequency:
frequency[num] += 1
else:
frequency[num] = 1
print(frequency) # 输出: {1: 1, 2: 2, 3: 2, 4: 1, 5: 1}
1.3.2 哈希表解决重复元素问题
哈希表可以高效地解决重复元素问题，因为它可以快速判断一个元素是否已经存在。
常见题型
- 去重：去除数组中的重复元素。
- 判断数组是否有重复元素：判断数组中是否存在重复的元素。
示例代码（Python）
arr = [1, 2, 3, 2, 4, 3, 5]
unique_arr = []
seen = set()
for num in arr:
if num not in seen:
unique_arr.append(num)
seen.add(num)
print(unique_arr) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
1.3.3 哈希表与其他数据结构结合
哈希表可以与其他数据结构（如链表、栈、队列等）结合使用，以解决更复杂的问题。
常见题型
- LRU 缓存：实现一个最近最少使用（LRU）缓存，使用哈希表和双向链表。
- 分组问题：根据元素的某个属性将元素分组。
1.4 双指针相关题
1.4.1 对撞指针相关题
对撞指针是指在数组或链表中，使用两个指针分别从两端向中间移动，直到两个指针相遇。
常见题型
- 两数之和：在有序数组中找到两个数，使得它们的和等于目标值。
- 反转数组：使用对撞指针反转数组。
示例代码（Python，两数之和）
arr = [2, 3, 4, 5, 8]
target = 7
left, right = 0, len(arr) - 1
while left < right:
current_sum = arr[left] + arr[right]
if current_sum == target:
print(left, right) # 输出: 0 3
break
elif current_sum < target:
left += 1
else:
right -= 1
1.4.2 快慢指针相关题
快慢指针是指在数组或链表中，使用两个指针，一个指针移动速度快，一个指针移动速度慢。
常见题型
- 链表中环的检测：判断链表中是否存在环。
- 寻找链表的中间节点：使用快慢指针找到链表的中间节点。
示例代码（Python，链表中环的检测）
class ListNode:
def __init__(self, val=0, next=None):
self.val = val
self.next = next
# 创建一个有环的链表
head = ListNode(1)
node2 = ListNode(2)
node3 = ListNode(3)
node4 = ListNode(4)
head.next = node2
node2.next = node3
node3.next = node4
node4.next = node2 # 形成环
slow = fast = head
while fast and fast.next:
slow = slow.next
fast = fast.next.next
if slow == fast:
print("链表中存在环")
break
1.4.3 滑动窗口相关题
滑动窗口是一种常用的算法技巧，用于解决数组或字符串中的子数组或子串问题。
常见题型
- 最大子数组和：找到数组中连续子数组的最大和。
- 无重复字符的最长子串：找到字符串中无重复字符的最长子串。
示例代码（Python，最大子数组和）
arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
max_sum = float('-inf')
current_sum = 0
for num in arr:
current_sum = max(num, current_sum + num)
max_sum = max(max_sum, current_sum)
print(max_sum) # 输出: 6
第二章 数据结构题型
2.1 数组与字符串题
2.1.1 数组基础操作题
数组是一种基本的数据结构，它由相同类型的元素组成，并且这些元素在内存中是连续存储的。数组的基础操作题主要涉及以下几个方面：
1. 数组的创建与初始化
- 静态初始化：在创建数组时直接指定元素的值。例如在 Java 中：
int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5};
- 动态初始化：先指定数组的长度，然后再为元素赋值。例如在 Python 中：
arr = [0] * 5 # 创建一个长度为 5 的数组，初始值都为 0
2. 元素的访问与修改
- 访问元素：通过数组的索引来访问元素，索引从 0 开始。例如在 C++ 中：
#include - 修改元素：同样通过索引来修改数组中的元素。例如在 JavaScript 中：
let arr = [1, 2, 3, 4, 5];
arr[2] = 10; // 将第 3 个元素修改为 10
console.log(arr);
3. 数组的遍历
- for 循环遍历：这是最常见的遍历方式。例如在 Java 中：
int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
- 增强 for 循环遍历：在 Java 中可以使用增强 for 循环更简洁地遍历数组。
int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5};
for (int num : arr) {
System.out.print(num + " ");
}
2.1.2 二维数组相关题
二维数组可以看作是数组的数组，它在处理矩阵、表格等数据时非常有用。二维数组相关题主要有以下几种：
1. 二维数组的创建与初始化
- 静态初始化：在 Java 中可以这样创建二维数组：
int[][] arr = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
- 动态初始化：先指定二维数组的行数和列数，然后再为元素赋值。例如在 Python 中：
rows = 3
cols = 3
arr = [[0 for _ in range(cols)] for _ in range(rows)]
2. 二维数组的访问与修改
- 访问二维数组的元素需要使用两个索引，第一个索引表示行，第二个索引表示列。例如在 C++ 中：
#include - 修改元素的方式与访问类似，通过两个索引来定位元素并修改。例如在 JavaScript 中：
let arr = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]];
arr[1][2] = 10; // 将第 2 行第 3 列的元素修改为 10
console.log(arr);
3. 二维数组的遍历
- 嵌套 for 循环遍历：这是最常用的遍历二维数组的方式。例如在 Java 中：
int[][] arr = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < arr[i].length; j++) {
System.out.print(arr[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
2.1.3 字符串匹配题
字符串匹配题主要是在一个主字符串中查找一个子字符串是否存在，以及它的位置。常见的算法有以下几种：
1. 暴力匹配算法
- 暴力匹配算法的基本思想是从主字符串的第一个字符开始，依次与子字符串的字符进行比较，如果匹配失败则主字符串的指针向后移动一位，重新开始比较。例如在 Python 中实现：
def brute_force_search(text, pattern):
n = len(text)
m = len(pattern)
for i in range(n - m + 1):
j = 0
while j < m:
if text[i + j] != pattern[j]:
break
j += 1
if j == m:
return i
return -1
text = "abcabcabd"
pattern = "abcabd"
result = brute_force_search(text, pattern)
print(result)
2. KMP 算法
- KMP 算法（Knuth-Morris-Pratt 算法）是一种高效的字符串匹配算法，它通过预处理子字符串，利用已经匹配的部分信息，避免了不必要的回溯。KMP 算法的时间复杂度为 O ( n + m ) O(n + m) O(n+m)，其中 n n n 是主字符串的长度， m m m 是子字符串的长度。
2.1.4 字符串编码与解码题
字符串编码与解码题主要涉及将字符串按照一定的规则进行编码，以及将编码后的字符串解码还原成原始字符串。常见的编码方式有以下几种：
1. 简单的替换编码
- 例如将字符串中的每个字符替换为它的 ASCII 码加 1 的字符。在 Python 中实现如下：
def encode_string(s):
encoded = ""
for char in s:
encoded += chr(ord(char) + 1)
return encoded
def decode_string(s):
decoded = ""
for char in s:
decoded += chr(ord(char) - 1)
return decoded
s = "abc"
encoded = encode_string(s)
decoded = decode_string(encoded)
print(encoded)
print(decoded)
2. Base64 编码与解码
- Base64 是一种常用的编码方式，它将二进制数据转换为可打印的 ASCII 字符。在 Python 中可以使用
base64模块进行编码和解码：
import base64
s = "abc"
encoded = base64.b64encode(s.encode())
decoded = base64.b64decode(encoded).decode()
print(encoded)
print(decoded)
2.2 链表题
2.2.1 单链表操作题
单链表是一种常见的数据结构，它由一个个节点组成，每个节点包含一个数据域和一个指向下一个节点的指针。单链表的操作题主要有以下几种：
1. 单链表的创建
- 可以通过逐个创建节点并连接它们来创建单链表。例如在 Python 中：
class ListNode:
def __init__(self, val=0, next=None):
self.val = val
self.next = next
# 创建一个单链表 1 -> 2 -> 3
head = ListNode(1)
head.next = ListNode(2)
head.next.next = ListNode(3)
2. 单链表的插入操作
- 在单链表的头部插入节点：
def insert_at_head(head, val):
new_node = ListNode(val)
new_node.next = head
return new_node
- 在单链表的尾部插入节点：
def insert_at_tail(head, val):
new_node = ListNode(val)
if not head:
return new_node
current = head
while current.next:
current = current.next
current.next = new_node
return head
3. 单链表的删除操作
- 删除单链表的头部节点：
def delete_at_head(head):
if not head:
return None
return head.next
- 删除单链表中值为指定值的节点：
def delete_node(head, val):
dummy = ListNode(0)
dummy.next = head
current = dummy
while current.next:
if current.next.val == val:
current.next = current.next.next
else:
current = current.next
return dummy.next
2.2.2 双链表操作题
双链表与单链表类似，但每个节点除了指向下一个节点的指针外，还包含一个指向前一个节点的指针。双链表的操作题主要有以下几种：
1. 双链表的创建
- 双链表的节点类可以定义如下：
class DoublyListNode:
def __init__(self, val=0, prev=None, next=None):
self.val = val
self.prev = prev
self.next = next
# 创建一个双链表 1 <-> 2 <-> 3
head = DoublyListNode(1)
node2 = DoublyListNode(2)
node3 = DoublyListNode(3)
head.next = node2
node2.prev = head
node2.next = node3
node3.prev = node2
2. 双链表的插入操作
- 在双链表的头部插入节点：
def insert_at_head(head, val):
new_node = DoublyListNode(val)
if not head:
return new_node
new_node.next = head
head.prev = new_node
return new_node
- 在双链表的尾部插入节点：
def insert_at_tail(head, val):
new_node = DoublyListNode(val)
if not head:
return new_node
current = head
while current.next:
current = current.next
current.next = new_node
new_node.prev = current
return head
3. 双链表的删除操作
- 删除双链表的头部节点：
def delete_at_head(head):
if not head:
return None
if head.next:
head.next.prev = None
return head.next
- 删除双链表中值为指定值的节点：
def delete_node(head, val):
current = head
while current:
if current.val == val:
if current.prev:
current.prev.next = current.next
if current.next:
current.next.prev = current.prev
if current == head:
head = current.next
break
current = current.next
return head
2.2.3 环形链表相关题
环形链表是指链表的尾节点指向链表中的某个节点，形成一个环。环形链表相关题主要有以下几种：
1. 判断链表是否为环形链表
- 可以使用快慢指针的方法来判断链表是否为环形链表。快指针每次移动两步，慢指针每次移动一步，如果快指针追上了慢指针，则说明链表是环形链表。例如在 Python 中实现：
class ListNode:
def __init__(self, val=0, next=None):
self.val = val
self.next = next
def has_cycle(head):
slow = head
fast = head
while fast and fast.next:
slow = slow.next
fast = fast.next.next
if slow == fast:
return True
return False
2. 找到环形链表的入口节点
- 同样可以使用快慢指针的方法，当快慢指针相遇后，将其中一个指针重新指向链表的头节点，然后两个指针都以每次一步的速度移动，它们再次相遇的节点就是环形链表的入口节点。例如在 Python 中实现：
def detect_cycle(head):
slow = head
fast = head
has_cycle = False
while fast and fast.next:
slow = slow.next
fast = fast.next.next
if slow == fast:
has_cycle = True
break
if not has_cycle:
return None
slow = head
while slow != fast:
slow = slow.next
fast = fast.next
return slow
2.2.4 链表排序与合并题
1. 链表排序
- 可以使用归并排序的方法对链表进行排序。归并排序的时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(n log n) O(nlogn)。例如在 Python 中实现：
class ListNode:
def __init__(self, val=0, next=None):
self.val = val
self.next = next
def merge_sort(head):
if not head or not head.next:
return head
# 找到链表的中间节点
slow = head
fast = head.next
while fast and fast.next:
slow = slow.next
fast = fast.next.next
mid = slow.next
slow.next = None
# 递归地对左右两部分进行排序
left = merge_sort(head)
right = merge_sort(mid)
# 合并两个有序链表
return merge(left, right)
def merge(left, right):
dummy = ListNode(0)
current = dummy
while left and right:
if left.val < right.val:
current.next = left
left = left.next
else:
current.next = right
right = right.next
current = current.next
if left:
current.next = left
if right:
current.next = right
return dummy.next
2. 链表合并
- 合并两个有序链表是一个常见的问题。可以使用递归或迭代的方法来实现。例如在 Python 中使用迭代的方法实现：
def merge_two_lists(l1, l2):
dummy = ListNode(0)
current = dummy
while l1 and l2:
if l1.val < l2.val:
current.next = l1
l1 = l1.next
else:
current.next = l2
l2 = l2.next
current = current.next
if l1:
current.next = l1
if l2:
current.next = l2
return dummy.next
2.3 栈与队列题
2.3.1 栈的基本应用题
栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，它的基本操作有入栈（push）和出栈（pop）。栈的基本应用题主要有以下几种：
1. 括号匹配问题
- 可以使用栈来解决括号匹配问题。遍历字符串，遇到左括号时将其入栈，遇到右括号时从栈中弹出一个左括号进行匹配。例如在 Python 中实现：
def is_valid(s):
stack = []
mapping = {")": "(", "]": "[", "}": "{"}
for char in s:
if char in mapping:
top_element = stack.pop() if stack else '#'
if mapping[char] != top_element:
return False
else:
stack.append(char)
return not stack
2. 后缀表达式求值
- 后缀表达式（逆波兰表达式）是一种将运算符放在操作数后面的表达式。可以使用栈来计算后缀表达式的值。例如在 Python 中实现：
def eval_rpn(tokens):
stack = []
for token in tokens:
if token in ['+', '-', '*', '/']:
right_operand = stack.pop()
left_operand = stack.pop()
if token == '+':
result = left_operand + right_operand
elif token == '-':
result = left_operand - right_operand
elif token == '*':
result = left_operand * right_operand
else:
result = int(left_operand / right_operand)
stack.append(result)
else:
stack.append(int(token))
return stack.pop()
2.3.2 队列的基本应用题
队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，它的基本操作有入队（enqueue）和出队（dequeue）。队列的基本应用题主要有以下几种：
1. 广度优先搜索（BFS）
- 广度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法，它使用队列来实现。例如在 Python 中实现图的广度优先搜索：
from collections import deque
def bfs(graph, start):
visited = set()
queue = deque([start])
visited.add(start)
while queue:
vertex = queue.popleft()
print(vertex, end=" ")
for neighbor in graph[vertex]:
# 第三章 动态规划题型
动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而解决复杂问题的方法。下面我们来详细介绍不同类型的动态规划题型。
## 3.1 基础动态规划题
### 3.1.1 斐波那契数列相关题
斐波那契数列是一个经典的数列，其定义为：$F(0) = 0$，$F(1) = 1$，$F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)$（$n \geq 2$）。也就是说，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。数列形式为：$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \cdots$
**问题描述**：通常会要求计算斐波那契数列的第 $n$ 项的值。
**解题思路**：
- **递归方法**：根据斐波那契数列的定义，直接使用递归函数来计算。但这种方法会有大量的重复计算，时间复杂度为 $O(2^n)$，效率较低。示例代码（Python）如下：
```python
def fibonacci_recursive(n):
if n == 0:
return 0
elif n == 1:
return 1
else:
return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)
- 动态规划方法：使用一个数组来保存中间结果，避免重复计算，时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。示例代码（Python）如下：
def fibonacci_dp(n):
if n == 0:
return 0
elif n == 1:
return 1
dp = [0] * (n + 1)
dp[0] = 0
dp[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]
3.1.2 爬楼梯问题
问题描述：假设你正在爬楼梯，需要 n n n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
解题思路：
- 设 d p [ i ] dp[i] dp[i] 表示爬到第 i i i 阶楼梯的方法数。
- 对于第 i i i 阶楼梯，你可以从第 i − 1 i - 1 i−1 阶爬 1 个台阶到达，也可以从第 i − 2 i - 2 i−2 阶爬 2 个台阶到达。所以状态转移方程为 d p [ i ] = d p [ i − 1 ] + d p [ i − 2 ] dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]。
- 边界条件： d p [ 1 ] = 1 dp[1] = 1 dp[1]=1（只有一种方法，爬 1 个台阶）， d p [ 2 ] = 2 dp[2] = 2 dp[2]=2（可以一次爬 2 个台阶，也可以分两次每次爬 1 个台阶）。
示例代码（Python）如下：
def climb_stairs(n):
if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 2
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]
3.1.3 背包问题（0 - 1 背包、完全背包）
0 - 1 背包问题
问题描述：有 n n n 个物品和一个容量为 W W W 的背包，每个物品有自己的重量 w i w_i wi 和价值 v i v_i vi。对于每个物品，你只能选择放入背包或者不放入（即 0 - 1 选择），问如何选择物品，使得背包中物品的总价值最大。
解题思路：
- 设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示前 i i i 个物品放入容量为 j j j 的背包中所能获得的最大价值。
- 状态转移方程：
- 当 j < w i j < w_i j<wi 时（当前背包容量不足以放入第 i i i 个物品）， d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j] = dp[i - 1][j] dp[i][j]=dp[i−1][j]。
- 当 j ≥ w i j \geq w_i j≥wi 时（可以选择放入或不放入第 i i i 个物品）， d p [ i ] [ j ] = max ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w i ] + v i ) dp[i][j] = \max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w_i] + v_i) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]+vi)。
示例代码（Python）如下：
def knapsack_01(weights, values, capacity):
n = len(weights)
dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, capacity + 1):
if j < weights[i - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])
return dp[n][capacity]
完全背包问题
问题描述：与 0 - 1 背包问题类似，不同之处在于每个物品可以选择无限次放入背包。
解题思路：
- 设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示前 i i i 个物品放入容量为 j j j 的背包中所能获得的最大价值。
- 状态转移方程：
- 当 j < w i j < w_i j<wi 时， d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j] = dp[i - 1][j] dp[i][j]=dp[i−1][j]。
- 当 j ≥ w i j \geq w_i j≥wi 时， d p [ i ] [ j ] = max ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i ) dp[i][j] = \max(dp[i - 1][j], dp[i][j - w_i] + v_i) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−wi]+vi)。
示例代码（Python）如下：
def knapsack_complete(weights, values, capacity):
n = len(weights)
dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, capacity + 1):
if j < weights[i - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])
return dp[n][capacity]
3.2 状态压缩动态规划题
3.2.1 棋盘问题
问题描述：在一个 m × n m \times n m×n 的棋盘上，每个格子有一个非负整数的权值。从棋盘的左上角 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0) 出发，每次只能向下或向右移动一步，到达棋盘的右下角 ( m − 1 , n − 1 ) (m - 1, n - 1) (m−1,n−1)。问路径上经过的格子的权值之和的最小值是多少。
解题思路：
- 设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示到达第 i i i 行第 j j j 列格子的最小权值和。
- 状态转移方程：
- 当 i = 0 i = 0 i=0 且 j = 0 j = 0 j=0 时， d p [ 0 ] [ 0 ] = g r i d [ 0 ] [ 0 ] dp[0][0] = grid[0][0] dp[0][0]=grid[0][0]。
- 当 i = 0 i = 0 i=0 时， d p [ 0 ] [ j ] = d p [ 0 ] [ j − 1 ] + g r i d [ 0 ] [ j ] dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j] dp[0][j]=dp[0][j−1]+grid[0][j]。
- 当 j = 0 j = 0 j=0 时， d p [ i ] [ 0 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] + g r i d [ i ] [ 0 ] dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0] dp[i][0]=dp[i−1][0]+grid[i][0]。
- 当 i > 0 i > 0 i>0 且 j > 0 j > 0 j>0 时， d p [ i ] [ j ] = min ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) + g r i d [ i ] [ j ] dp[i][j] = \min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j] dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+grid[i][j]。
可以使用状态压缩的方法，将二维数组 d p dp dp 压缩为一维数组，因为在计算 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 时，只需要用到 d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i - 1][j] dp[i−1][j] 和 d p [ i ] [ j − 1 ] dp[i][j - 1] dp[i][j−1] 的值。
示例代码（Python）如下：
def min_path_sum(grid):
m = len(grid)
n = len(grid[0])
dp = [0] * n
dp[0] = grid[0][0]
for j in range(1, n):
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
for i in range(1, m):
dp[0] += grid[i][0]
for j in range(1, n):
dp[j] = min(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i][j]
return dp[n - 1]
3.2.2 子集问题
问题描述：给定一个整数数组 n u m s nums nums，问是否存在一个子集，使得子集中元素的和等于给定的目标值 t a r g e t target target。
解题思路：
- 设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示前 i i i 个元素中是否存在一个子集，其和等于 j j j。
- 状态转移方程：
- 当 j = 0 j = 0 j=0 时， d p [ i ] [ 0 ] = T r u e dp[i][0] = True dp[i][0]=True（空子集的和为 0）。
- 当 i = 0 i = 0 i=0 且 j > 0 j > 0 j>0 时， d p [ 0 ] [ j ] = F a l s e dp[0][j] = False dp[0][j]=False。
- 当 j < n u m s [ i − 1 ] j < nums[i - 1] j<nums[i−1] 时， d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j] = dp[i - 1][j] dp[i][j]=dp[i−1][j]。
- 当 j ≥ n u m s [ i − 1 ] j \geq nums[i - 1] j≥nums[i−1] 时， d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] or d p [ i − 1 ] [ j − n u m s [ i − 1 ] ] dp[i][j] = dp[i - 1][j] \text{ or } dp[i - 1][j - nums[i - 1]] dp[i][j]=dp[i−1][j] or dp[i−1][j−nums[i−1]]。
同样可以使用状态压缩的方法，将二维数组 d p dp dp 压缩为一维数组。
示例代码（Python）如下：
def subset_sum(nums, target):
n = len(nums)
dp = [False] * (target + 1)
dp[0] = True
for num in nums:
for j in range(target, num - 1, -1):
dp[j] = dp[j] or dp[j - num]
return dp[target]
3.3 区间动态规划题
3.3.1 最长回文子串问题
问题描述：给定一个字符串 s s s，找出 s s s 中最长的回文子串。
解题思路：
- 设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示字符串 s s s 中从第 i i i 个字符到第 j j j 个字符的子串是否为回文串。
- 状态转移方程：
- 当 i = j i = j i=j 时， d p [ i ] [ j ] = T r u e dp[i][j] = True dp[i][j]=True（单个字符是回文串）。
- 当 j − i = 1 j - i = 1 j−i=1 时， d p [ i ] [ j ] = ( s [ i ] = = s [ j ] ) dp[i][j] = (s[i] == s[j]) dp[i][j]=(s[i]==s[j])（两个字符是否相等）。
- 当 j − i > 1 j - i > 1 j−i>1 时， d p [ i ] [ j ] = ( s [ i ] = = s [ j ] ) and d p [ i + 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j] = (s[i] == s[j]) \text{ and } dp[i + 1][j - 1] dp[i][j]=(s[i]==s[j]) and dp[i+1][j−1]。
在遍历过程中，记录最长回文子串的长度和起始位置。
示例代码（Python）如下：
def longest_palindrome(s):
n = len(s)
if n < 2:
return s
dp = [[False] * n for _ in range(n)]
start = 0
max_len = 1
for j in range(n):
for i in range(j + 1):
if j - i < 2:
dp[i][j] = (s[i] == s[j])
else:
dp[i][j] = (s[i] == s[j]) and dp[i + 1][j - 1]
if dp[i][j] and j - i + 1 > max_len:
max_len = j - i + 1
start = i
return s[start:start + max_len]
3.3.2 矩阵链乘法问题
问题描述：给定 n n n 个矩阵 A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1, A_2, \cdots, A_n A1,A2,⋯,An，其中 A i A_i Ai 的维度为 p i − 1 × p i p_{i - 1} \times p_i pi−1×pi。问如何给矩阵链加上括号，使得矩阵乘法的总标量乘法次数最少。
解题思路：
- 设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示矩阵链 A i A i + 1 ⋯ A j A_i A_{i + 1} \cdots A_j AiAi+1⋯Aj 的最少标量乘法次数。
- 状态转移方程：
- 当 i = j i = j i=j 时， d p [ i ] [ j ] = 0 dp[i][j] = 0 dp[i][j]=0（单个矩阵不需要乘法）。
- 当 i < j i < j i<j 时， d p [ i ] [ j ] = min i ≤ k < j { d p [ i ] [ k ] + d p [ k + 1 ] [ j ] + p i − 1 p k p j } dp[i][j] = \min_{i \leq k < j} \{dp[i][k] + dp[k + 1][j] + p_{i - 1} p_k p_j\} dp[i][j]=mini≤k<j{dp[i][k]+dp[k+1][j]+pi−1pkpj}。
示例代码（Python）如下：
def matrix_chain_order(p):
n = len(p) - 1
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
for l in range(2, n + 1):
for i in range(n - l + 1):
j = i + l - 1
dp[i][j] = float('inf')
for k in range(i, j):
q = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + p[i] * p[k + 1] * p[j + 1]
if q < dp[i][j]:
dp[i][j] = q
return dp[0][n - 1]
3.4 树形动态规划题
3.4.1 树的最大独立集问题
问题描述：给定一棵无向树，求树的最大独立集的大小。独立集是指图中一组两两不相邻的顶点。
解题思路：
- 对于树中的每个节点 u u u，设 d p [ u ] [ 0 ] dp[u][0] dp[u][0] 表示不选择节点 u u u 时以 u u u 为根的子树的最大独立集大小， d p [ u ] [ 1 ] dp[u][1] dp[u][1] 表示选择节点 u u u 时以 u u u 为根的子树的最大独立集大小。
- 状态转移方程：
- d p [ u ] [ 0 ] = ∑ v ∈ children ( u ) max ( d p [ v ] [ 0 ] , d p [ v ] [ 1 ] ) dp[u][0] = \sum_{v \in \text{children}(u)} \max(dp[v][0], dp[v][1]) dp[u][0]=∑v∈children(u)max(dp[v][0],dp[v][1])（不选择节点 u u u，则其子节点可以选择或不选择）。
- d p [ u ] [ 1 ] = 1 + ∑ v ∈ children ( u ) d p [ v ] [ 0 ] dp[u][1] = 1 + \sum_{v \in \text{children}(u)} dp[v][0] dp[u][1]=1+∑v∈children(u)dp[v][0]（选择节点 u u u，则其子节点都不能选择）。
最终答案为 max ( d p [ r o o t ] [ 0 ] , d p [ r o o t ] [ 1 ] ) \max(dp[root][0], dp[root][1]) max(dp[root][0],dp[root][1])。
3.4.2 树的最小顶点覆盖问题
问题描述：给定一棵无向树，求树的最小顶点覆盖的大小。顶点覆盖是指图中的一个顶点子集，使得图中的每条边至少有一个端点在该子集中。
解题思路：
- 对于树中的每个节点 u u u，设 d p [ u ] [ 0 ] dp[u][0] dp[u][0] 表示不选择节点 u u u 时以 u u u 为根的子树的最小顶点覆盖大小， d p [ u ] [ 1 ] dp[u][1] dp[u][1] 表示选择节点 u u u 时以 u u u 为根的子树的最小顶点覆盖大小。
- 状态转移方程：
- d p [ u ] [ 0 ] = ∑ v ∈ children ( u ) d p [ v ] [ 1 ] dp[u][0] = \sum_{v \in \text{children}(u)} dp[v][1] dp[u][0]=∑v∈children(u)dp[v][1]（不选择节点 u u u，则其子节点都必须选择）。
- d p [ u ] [ 1 ] = 1 + ∑ v ∈ children ( u ) min ( d p [ v ] [ 0 ] , d p [ v ] [ 1 ] ) dp[u][1] = 1 + \sum_{v \in \text{children}(u)} \min(dp[v][0], dp[v][1]) dp[u][1]=1+∑v∈children(u)min(dp[v][0],dp[v][1])（选择节点 u u u，则其子节点可以选择或不选择）。
最终答案为 min ( d p [ r o o t ] [ 0 ] , d p [ r o o t ] [ 1 ] ) \min(dp[root][0], dp[root][1]) min(dp[root][0],dp[root][1])。
通过对以上不同类型动态规划题型的学习，相信你对动态规划有了更深入的理解和掌握。加油，继续挑战更多的算法问题吧！
第四章 数学与位运算题型
4.1 数学基础题
4.1.1 质数相关题
1. 质数的定义
质数又称素数，是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。例如，2、3、5、7、11 等都是质数，而 4 不是质数，因为 4 除了 1 和 4 之外，还有因数 2。
2. 判断一个数是否为质数
- 方法：可以从 2 开始，到该数的平方根为止，检查是否存在能整除该数的数。如果存在，则该数不是质数；否则，该数是质数。
- 示例代码（Python）：
import math
def is_prime(n):
if n < 2:
return False
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
if n % i == 0:
return False
return True
print(is_prime(7)) # 输出: True
print(is_prime(4)) # 输出: False
3. 常见的质数相关题目类型
- 找出一定范围内的所有质数：可以使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes），该算法的时间复杂度为 O ( n l o g l o g n ) O(n log log n) O(nloglogn)。
- 质数分解：将一个合数分解成若干个质数的乘积。
4.1.2 最大公约数与最小公倍数题
1. 最大公约数（GCD）
- 定义：指两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如，12 和 18 的最大公约数是 6，因为 12 的约数有 1、2、3、4、6、12，18 的约数有 1、2、3、6、9、18，它们共有的约数中最大的是 6。
- 计算方法：可以使用欧几里得算法（辗转相除法），其原理是： g c d ( a , b ) = g c d ( b , a gcd(a, b) = gcd(b, a % b) gcd(a,b)=gcd(b,a，其中 a > b a > b a>b。
- 示例代码（Python）：
def gcd(a, b):
while b:
a, b = b, a % b
return a
print(gcd(12, 18)) # 输出: 6
2. 最小公倍数（LCM）
- 定义：指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。例如，12 和 18 的最小公倍数是 36，因为 12 的倍数有 12、24、36、48 等，18 的倍数有 18、36、54 等，它们公有的倍数中最小的是 36。
- 计算方法：可以利用公式 l c m ( a , b ) = a ∗ b g c d ( a , b ) lcm(a, b) = \frac{a * b}{gcd(a, b)} lcm(a,b)=gcd(a,b)a∗b。
- 示例代码（Python）：
def lcm(a, b):
return a * b // gcd(a, b)
print(lcm(12, 18)) # 输出: 36
3. 常见的最大公约数与最小公倍数题目类型
- 求解多个数的最大公约数和最小公倍数：可以先求出两个数的最大公约数和最小公倍数，再依次与其他数进行计算。
- 利用最大公约数和最小公倍数解决实际问题，如安排周期性事件等。
4.1.3 排列组合问题
1. 排列
- 定义：从 n n n 个不同元素中取出 m m m（ m ≤ n m \leq n m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的一个排列。排列数记为 A n m A_{n}^m Anm，计算公式为 A n m = n ! ( n − m ) ! A_{n}^m = \frac{n!}{(n - m)!} Anm=(n−m)!n!。例如，从 3 个不同元素中取出 2 个元素的排列数为 A 3 2 = 3 ! ( 3 − 2 ) ! = 3 × 2 = 6 A_{3}^2 = \frac{3!}{(3 - 2)!} = 3 \times 2 = 6 A32=(3−2)!3!=3×2=6。
- 示例代码（Python）：
import math
def permutation(n, m):
return math.factorial(n) // math.factorial(n - m)
print(permutation(3, 2)) # 输出: 6
2. 组合
- 定义：从 n n n 个不同元素中取出 m m m（ m ≤ n m \leq n m≤n）个元素组成一组，不考虑元素的顺序，叫做从 n n n 个不同元素中取出 m m m 个元素的一个组合。组合数记为 C n m C_{n}^m Cnm，计算公式为 C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_{n}^m = \frac{n!}{m!(n - m)!} Cnm=m!(n−m)!n!。例如，从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数为 C 3 2 = 3 ! 2 ! ( 3 − 2 ) ! = 3 C_{3}^2 = \frac{3!}{2!(3 - 2)!} = 3 C32=2!(3−2)!3!=3。
- 示例代码（Python）：
import math
def combination(n, m):
return math.factorial(n) // (math.factorial(m) * math.factorial(n - m))
print(combination(3, 2)) # 输出: 3
3. 常见的排列组合题目类型
- 计算排列组合的具体数值：根据题目给定的 n n n 和 m m m，使用上述公式进行计算。
- 解决实际问题中的排列组合情况，如计算抽奖的中奖概率、安排座位的方案数等。
4.2 位运算题
4.2.1 位运算基础应用
1. 常见的位运算符
- 按位与（&）：对应位都为 1 时结果为 1，否则为 0。例如， 5 & 3 = 1 5 \& 3 = 1 5&3=1，因为 5 5 5 的二进制表示为 101 101 101， 3 3 3 的二进制表示为 011 011 011，按位与后得到 001 001 001，即十进制的 1。
- 按位或（|）：对应位只要有一个为 1 结果就为 1，只有都为 0 时结果才为 0。例如， 5 ∣ 3 = 7 5 | 3 = 7 5∣3=7，二进制计算为 101 ∣ 011 = 111 101 | 011 = 111 101∣011=111，即十进制的 7。
- 按位异或（^）：对应位不同时结果为 1，相同时结果为 0。例如， 5 3 = 6 5 ^ 3 = 6 53=6，二进制计算为 101 0 11 = 110 101 ^ 011 = 110 101011=110，即十进制的 6。
- 按位取反（~）：将每一位取反，0 变为 1，1 变为 0。例如，~5 在 8 位二进制中表示为 11111010 11111010 11111010，在有符号整数中表示为 -6。
- 左移（<<）：将二进制数向左移动指定的位数，右边补 0。例如， 5 < < 2 = 20 5 << 2 = 20 5<<2=20，因为 5 5 5 的二进制是 101 101 101，左移 2 位后变为 10100 10100 10100，即十进制的 20。
- 右移（>>）：将二进制数向右移动指定的位数，左边补符号位（正数补 0，负数补 1）。例如， 5 > > 1 = 2 5 >> 1 = 2 5>>1=2，二进制计算为 101 > > 1 = 10 101 >> 1 = 10 101>>1=10，即十进制的 2。
2. 位运算的基础应用场景
- 判断奇偶性：一个数的二进制表示中，最后一位为 0 则为偶数，为 1 则为奇数。可以使用 n & 1 n \& 1 n&1 来判断，结果为 0 是偶数，结果为 1 是奇数。
- 交换两个数的值：可以使用异或运算实现，代码如下：
a = 5
b = 3
a = a ^ b
b = a ^ b
a = a ^ b
print(a, b) # 输出: 3 5
4.2.2 位运算解决奇偶性问题
1. 判断单个数字的奇偶性
- 方法：使用按位与运算符
&，将数字与 1 进行按位与运算。如果结果为 0，则该数字为偶数；如果结果为 1，则该数字为奇数。 - 示例代码（Python）：
def is_even(n):
return (n & 1) == 0
print(is_even(4)) # 输出: True
print(is_even(5)) # 输出: False
2. 处理数组中数字的奇偶性问题
- 问题描述：给定一个数组，将数组中的奇数和偶数分开，使得奇数在前，偶数在后。
- 解决方法：可以使用双指针法，一个指针从左向右移动，一个指针从右向左移动，当左指针指向偶数且右指针指向奇数时，交换两个元素的位置。
- 示例代码（Python）：
def separate_odd_even(arr):
left, right = 0, len(arr) - 1
while left < right:
while left < right and arr[left] % 2 == 1:
left += 1
while left < right and arr[right] % 2 == 0:
right -= 1
if left < right:
arr[left], arr[right] = arr[right], arr[left]
return arr
arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
print(separate_odd_even(arr)) # 输出: [1, 5, 3, 4, 2, 6]
4.2.3 位运算实现加法、减法等操作
1. 位运算实现加法
- 原理：使用异或运算
^实现不进位加法，使用按位与运算&和左移运算<<计算进位，然后将不进位加法的结果和进位相加，直到没有进位为止。 - 示例代码（Python）：
def add(a, b):
while b:
carry = (a & b) << 1
a = a ^ b
b = carry
return a
print(add(5, 3)) # 输出: 8
2. 位运算实现减法
- 原理：减法可以转化为加法，即 a − b = a + ( − b ) a - b = a + (-b) a−b=a+(−b)，而负数在计算机中以补码形式表示，补码的计算方法是原码取反加 1。
- 示例代码（Python）：
def subtract(a, b):
# 求 -b 的补码
b = add(~b, 1)
return add(a, b)
print(subtract(5, 3)) # 输出: 2
总结：数学与位运算在算法和编程中有着广泛的应用，掌握这些基础知识可以帮助我们更好地解决各种问题。通过不断练习相关的题目，可以提高我们的编程能力和思维能力。
第五章 贪心算法题型
贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。接下来我们看看贪心算法的具体题型。
5.1 基础贪心算法题
5.1.1 活动选择问题
1. 问题描述
假设有一个礼堂，有多个活动想要使用这个礼堂，每个活动都有开始时间和结束时间。我们的目标是在这个礼堂安排尽可能多的活动，使得这些活动的时间不会相互冲突。
例如，有以下活动：
| 活动编号 | 开始时间 | 结束时间 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 3 | 0 | 6 |
| 4 | 5 | 7 |
| 5 | 3 | 9 |
我们需要找出一种安排方式，让礼堂能举办最多的活动。
2. 贪心策略
我们采用按照活动结束时间进行排序的贪心策略。优先选择结束时间早的活动，这样可以为后续活动留出更多的时间。
3. 解题步骤
- 首先，将所有活动按照结束时间从小到大进行排序。
- 然后，选择第一个结束的活动，因为它结束得最早，能为后续活动提供更多的时间窗口。
- 接着，依次遍历剩下的活动，只要活动的开始时间不早于上一个已选择活动的结束时间，就选择该活动。
对于上面的例子，排序后为：
| 活动编号 | 开始时间 | 结束时间 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 4 | 5 | 7 |
| 3 | 0 | 6 |
| 5 | 3 | 9 |
首先选择活动 1，其结束时间是 4。然后看活动 2，开始时间 3 早于 4，不选；活动 4，开始时间 5 晚于 4，选择；活动 3，开始时间 0 早于 5，不选；活动 5，开始时间 3 早于 5，不选。所以最终选择的活动是 1 和 4。
5.1.2 找零问题
1. 问题描述
在日常生活中，我们去商店买东西，付款后商家需要找零。例如，我们买了价值 37 元的商品，给了商家 100 元，商家需要找给我们 63 元。现在的问题是，如何用最少数量的纸币和硬币来完成找零。
假设我们有以下几种面额的货币：100 元、50 元、20 元、10 元、5 元、1 元。
2. 贪心策略
每次都选择面额最大的货币，直到找零金额为 0。
3. 解题步骤
- 对于找零金额 63 元，首先看最大面额 100 元，63 小于 100，不选。
- 接着看 50 元，63 大于 50，选择 1 张 50 元，此时还需找零 63 - 50 = 13 元。
- 再看 20 元，13 小于 20，不选。
- 看 10 元，13 大于 10，选择 1 张 10 元，此时还需找零 13 - 10 = 3 元。
- 看 5 元，3 小于 5，不选。
- 看 1 元，3 大于 1，选择 3 张 1 元，此时找零金额为 0。
所以最终找零方案是 1 张 50 元、1 张 10 元、3 张 1 元。
5.2 区间贪心算法题
5.2.1 区间覆盖问题
1. 问题描述
给定一个大区间和若干个小区间，每个小区间都有自己的起始和结束位置。我们的目标是用最少的小区间完全覆盖大区间。
例如，大区间是 [1, 10]，有以下小区间：
| 小区间编号 | 起始位置 | 结束位置 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 5 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 6 | 9 |
| 5 | 8 | 10 |
2. 贪心策略
首先，将所有小区间按照起始位置从小到大排序。然后，在每一步中，选择所有起始位置能衔接上当前已覆盖区间末尾的小区间中，结束位置最远的那个小区间。
3. 解题步骤
- 初始时，已覆盖区间为空，当前需要覆盖的起始位置是大区间的起始位置 1。
- 按照起始位置排序后，首先看小区间 1，它的起始位置是 1，能覆盖起始位置，且结束位置是 3，选择它。此时已覆盖区间是 [1, 3]。
- 接着，在剩下的小区间中，起始位置能衔接上 3 的有小区间 2 和 3，小区间 2 结束位置是 5，小区间 3 结束位置是 7，选择小区间 3。此时已覆盖区间是 [1, 7]。
- 然后，起始位置能衔接上 7 的有小区间 4，选择它。此时已覆盖区间是 [1, 9]。
- 最后，起始位置能衔接上 9 的有小区间 5，选择它。此时已覆盖区间是 [1, 10]，刚好覆盖大区间。
所以最少需要 4 个小区间（1、3、4、5）来覆盖大区间。
5.2.2 区间合并问题
1. 问题描述
给定一组区间，每个区间由起始位置和结束位置表示。我们的任务是将所有重叠的区间合并成一个大区间，最终得到一组不重叠的区间。
例如，给定以下区间：
| 区间编号 | 起始位置 | 结束位置 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 6 |
| 3 | 8 | 10 |
| 4 | 15 | 18 |
2. 贪心策略
先将所有区间按照起始位置从小到大进行排序。然后，依次遍历这些区间，对于相邻的区间，如果它们有重叠部分，就将它们合并成一个更大的区间。
3. 解题步骤
- 首先对区间进行排序，排序后顺序不变。
- 从第一个区间 [1, 3] 开始，看第二个区间 [2, 6]，它们有重叠部分（2 - 3 之间），将它们合并成 [1, 6]。
- 接着看第三个区间 [8, 10]，它与 [1, 6] 没有重叠，保留。
- 再看第四个区间 [15, 18]，它与 [8, 10] 没有重叠，保留。
所以最终合并后的区间是 [1, 6]、[8, 10]、[15, 18]。
第六章 设计题
6.1 数据结构设计题
6.1.1 设计栈、队列
1. 栈的设计
定义与特点
栈是一种遵循后进先出（LIFO - Last In First Out）原则的数据结构，就像一摞盘子，最后放上去的盘子总是最先被拿走。
设计思路
- 数据存储：可以使用数组来实现栈，数组的一端作为栈顶。
- 操作方法：
push(element)：将元素压入栈顶。pop()：移除并返回栈顶元素。peek()：返回栈顶元素，但不移除。isEmpty()：判断栈是否为空。size()：返回栈中元素的数量。
代码示例（Python）
class Stack:
def __init__(self):
self.items = []
def push(self, element):
self.items.append(element)
def pop(self):
if not self.isEmpty():
return self.items.pop()
return None
def peek(self):
if not self.isEmpty():
return self.items[-1]
return None
def isEmpty(self):
return len(self.items) == 0
def size(self):
return len(self.items)
2. 队列的设计
定义与特点
队列是一种遵循先进先出（FIFO - First In First Out）原则的数据结构，就像排队买票，先到的人先买到票。
设计思路
- 数据存储：同样可以使用数组来实现队列，数组的一端作为队头，另一端作为队尾。
- 操作方法：
enqueue(element)：将元素添加到队尾。dequeue()：移除并返回队头元素。peek()：返回队头元素，但不移除。isEmpty()：判断队列是否为空。size()：返回队列中元素的数量。
代码示例（Python）
class Queue:
def __init__(self):
self.items = []
def enqueue(self, element):
self.items.append(element)
def dequeue(self):
if not self.isEmpty():
return self.items.pop(0)
return None
def peek(self):
if not self.isEmpty():
return self.items[0]
return None
def isEmpty(self):
return len(self.items) == 0
def size(self):
return len(self.items)
6.1.2 设计哈希表
定义与特点
哈希表（Hash Table）是一种根据键（Key）直接访问内存存储位置的数据结构，它通过哈希函数将键映射到存储桶（Bucket）中，以实现快速的查找、插入和删除操作。
设计思路
- 哈希函数：将键转换为存储桶的索引。一个好的哈希函数应该尽量减少冲突（不同的键映射到相同的索引）。
- 冲突处理：当发生冲突时，有多种处理方法，如链地址法（每个存储桶是一个链表）和开放寻址法（如线性探测、二次探测等）。
- 操作方法：
put(key, value)：将键值对插入哈希表。get(key)：根据键获取对应的值。remove(key)：根据键移除对应的键值对。
代码示例（Python，使用链地址法处理冲突）
class HashTable:
def __init__(self, size):
self.size = size
self.table = [[] for _ in range(size)]
def _hash(self, key):
return hash(key) % self.size
def put(self, key, value):
index = self._hash(key)
for pair in self.table[index]:
if pair[0] == key:
pair[1] = value
return
self.table[index].append([key, value])
def get(self, key):
index = self._hash(key)
for pair in self.table[index]:
if pair[0] == key:
return pair[1]
return None
def remove(self, key):
index = self._hash(key)
for i, pair in enumerate(self.table[index]):
if pair[0] == key:
del self.table[index][i]
return
6.1.3 设计 LRU 缓存
定义与特点
LRU（Least Recently Used）缓存是一种缓存淘汰策略，当缓存满时，会优先淘汰最近最少使用的数据。它结合了哈希表和双向链表，以实现快速的查找和插入操作，同时能够维护数据的访问顺序。
设计思路
- 哈希表：用于快速查找数据，键为缓存的键，值为双向链表中的节点。
- 双向链表：用于维护数据的访问顺序，链表头部表示最近使用的数据，链表尾部表示最近最少使用的数据。
- 操作方法：
get(key)：根据键获取对应的值，并将该数据移到链表头部。put(key, value)：插入或更新键值对，如果缓存已满，淘汰链表尾部的数据。
代码示例（Python）
class DLinkedNode:
def __init__(self, key=0, value=0):
self.key = key
self.value = value
self.prev = None
self.next = None
class LRUCache:
def __init__(self, capacity):
self.capacity = capacity
self.cache = {}
self.size = 0
self.head = DLinkedNode()
self.tail = DLinkedNode()
self.head.next = self.tail
self.tail.prev = self.head
def _add_to_head(self, node):
node.prev = self.head
node.next = self.head.next
self.head.next.prev = node
self.head.next = node
def _remove_node(self, node):
node.prev.next = node.next
node.next.prev = node.prev
def _move_to_head(self, node):
self._remove_node(node)
self._add_to_head(node)
def _remove_tail(self):
node = self.tail.prev
self._remove_node(node)
return node
def get(self, key):
if key not in self.cache:
return -1
node = self.cache[key]
self._move_to_head(node)
return node.value
def put(self, key, value):
if key in self.cache:
node = self.cache[key]
node.value = value
self._move_to_head(node)
else:
node = DLinkedNode(key, value)
self.cache[key] = node
self._add_to_head(node)
self.size += 1
if self.size > self.capacity:
removed = self._remove_tail()
self.cache.pop(removed.key)
self.size -= 1
6.2 系统设计题
6.2.1 设计短网址系统
需求分析
短网址系统的主要功能是将长网址转换为短网址，方便用户分享和传播。用户输入长网址，系统生成对应的短网址，当用户访问短网址时，系统将其重定向到原始的长网址。
设计思路
- 数据库设计：使用数据库（如 MySQL）存储长网址和短网址的映射关系，表结构可以包含
id、long_url、short_url等字段。 - 短网址生成算法：可以使用哈希算法（如 MD5、SHA - 1）将长网址转换为固定长度的哈希值，然后截取部分哈希值作为短网址的一部分，也可以使用自增 ID 转换为 62 进制字符串的方法生成短网址。
- 服务端架构：采用分层架构，包括 Web 层、业务逻辑层和数据访问层，使用 HTTP 协议处理用户请求。
- 缓存设计：使用缓存（如 Redis）来提高短网址查询的性能，减少数据库的访问压力。
工作流程
- 用户提交长网址。
- 系统检查缓存中是否存在该长网址的映射，如果存在，直接返回短网址；否则，查询数据库。
- 如果数据库中也不存在该长网址的映射，生成短网址，将长 - 短网址映射关系存入数据库和缓存。
- 用户访问短网址，系统先从缓存中查找对应的长网址，如果未找到，再查询数据库。
- 将用户重定向到原始的长网址。
6.2.2 设计分布式缓存系统
需求分析
分布式缓存系统用于在分布式环境中缓存数据，以提高系统的性能和响应速度。多个应用服务器可以共享缓存数据，减少对后端数据源（如数据库）的访问压力。
设计思路
- 缓存节点：使用多个缓存节点组成分布式缓存集群，每个节点负责存储部分缓存数据。
- 数据分片：将缓存数据按照一定的规则（如哈希算法）分片存储到不同的缓存节点上，以实现数据的均匀分布。
- 一致性哈希：使用一致性哈希算法来解决节点增减时的数据迁移问题，减少数据的重新分布。
- 缓存更新策略：可以采用主动更新（当数据发生变化时，主动更新缓存）或被动更新（当缓存过期时，重新从数据源获取数据）的策略。
- 缓存淘汰策略：当缓存空间不足时，采用 LRU、LFU（Least Frequently Used）等淘汰策略来淘汰部分缓存数据。
工作流程
- 应用服务器向分布式缓存系统发送缓存请求。
- 缓存系统根据请求的键计算哈希值，确定该键对应的缓存节点。
- 如果该节点存在缓存数据，直接返回给应用服务器；否则，从后端数据源获取数据，并将数据存入缓存节点。
- 当后端数据源的数据发生变化时，根据更新策略更新缓存数据。
通过以上设计，可以构建一个高效、可靠的分布式缓存系统，为分布式应用提供强大的缓存支持。