[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.29

证明: $\dps{\vlm{n}\sed{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}}$ 存在 (有限).

 

证明: 设 $\dps{a_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}$, 则 $$\beex \bea a_{n+1}-a_n&=\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}-\ln\ln(n+1)+\ln\ln n\\ &\leq \int_n^{n+1}\frac{1}{x\ln x}\rd x-\ln\ln(n+1)+\ln \ln n\\ &=0,\\ a_n&=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n\\ &\geq \sum_{k=2}^n \int_k^{k+1}\frac{1}{x\ln x}\rd x -\ln\ln n\\ &=\int_2^{n+1} \frac{1}{x\ln x}\rd x-\ln\ln n\\ &=\ln\ln(n+1)-\ln\ln 2-\ln\ln n\\ &\geq -\ln\ln 2. \eea \eeex$$ 由单调有界定理即知结论成立.