[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.19

求 $\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$. (中国科学技术大学)

 

解答: $$\beex \bea \mbox{原极限}&=\vlm{x} \xi \sin \frac{3}{\xi} f(\xi)\cdot 2\quad\sex{x<\xi<x+2}\\ &=3\cdot 1\cdot 2=6. \eea \eeex$$