M斐波那契数列

M斐波那契数列

（使用费马小定理降幂处理以及矩阵的快速幂求法）

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] (n>1)

现在，写出F[2]、F[3]、F[4]的值，可以发现，其中，a,b的指数均为斐波那契数，归纳法得 :
F[n] = a^Fib[n-1] *b^Fib[n]

费马小定理：
A^B%C = A^(B%(C-1))%C （C是质数，且A、C互质）

所以 F[n] = (a^(Fib[n-1]%(C-1)%C) * (b^(Fib[n]%(C-1))%C)

而对于斐波那契数列 Fib[n] = Fib[n-1] + Fib[n-2] 是一个二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得 ：

(FnFn−1)=(Fn−1Fn−2)∗A

求解，A得到：

[1110]

Input:
a、b、n

Output:
F[n]，若F[n]过大，输出F[n]对1000000007取模

#include <stdio.h>

const long long M=1000000007;

class Matrix
{
public:
    int m[2][2];

    // 2*2的矩阵相乘
    Matrix mul(Matrix x){ 
        Matrix ans;
        ans.m[0][0] = (m[0][0]*x.m[0][0]+m[0][1]*x.m[1][0])%(M-1);
        ans.m[0][1] = (m[0][0]*x.m[0][1]+m[0][1]*x.m[1][1])%(M-1);
        ans.m[1][0] = (m[1][0]*x.m[0][0]+m[1][1]*x.m[1][0])%(M-1);
        ans.m[1][1] = (m[1][0]*x.m[0][1]+m[1][1]*x.m[1][1])%(M-1);
        return ans;
    }

    //设为单位矩阵
    void SetIdentity(){
        m[0][0] = 1;
        m[1][1] = 1;
        m[0][1] = 0;
        m[1][0] = 0;
    }

    //设为2*2矩阵A
    /** * [ 1 1 ] * [ 1 0 ] */
    void SetDefault(){
        m[0][0] = 1;
        m[0][1] = 1;
        m[1][0] = 1;
        m[1][1] = 0;
    }
};

Matrix Fib(int n){
    Matrix A,ans;
    A.SetDefault();
    ans.SetIdentity();
    // 矩阵快速幂
    while(n){
        if( n&1 )
            ans = ans.mul(A);
        A = A.mul(A);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

long long quickpow(long long x,long long y){
    long long res = 1;
    while(y){
        if(y&1) res = res*x % M;
        y >>=1;
        x = x*x%M;
    }
    return res;
} 
int main(){
    long long a,b,n;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n)){
        Matrix f = Fib(n);
        long long answer;
        answer = quickpow(a,f.m[1][1])*quickpow(b,f.m[1][0])%M;
        printf("%lld\n",answer);
    }
    return 0;
}