线性筛法求素数

普通筛法

先讲一下普通的筛法。筛法，顾名思义，就是去掉合数，剩下的就是素数了。
我们知道，合数一定可以分解为两个或以上的素数，所以我们只需要对于每一个素数 i ，枚举一个大于2的数 j ，将 i∗j （此为某个合数）筛掉。如果 i 是合数，那一定会被它的一个质因数乘上某个数而被筛掉，反之，他将不会被筛掉。

Code(pascal) normal

    for i:=2 to n do
    if bz[i] then  //如果此数没有被小于它的质数乘上某个数所筛掉，说明它是质数
    for j:=2 to n div i do  //枚举i的乘数j
    bz[i*j]:=false;  //筛掉此数

这个算法的时间复杂度是 n2 的，我们看一下能不能优化一下。
我们可以发现，对于一个大于√ n 的质数，我们可以发现用此数来筛是没有意义的。
我们设这个数为 y ,则 j 一定小于 y （因为 y >√ n , j 最大为 n/y ,所以 j <√ n < y )
设j= P1∗P2∗P3∗...∗Pn(Pi均为质数) ，因为 j < y ，所以 Pi < y ，所以 j∗y=Pi∗u(某个数)

综上所述，当 i=Pi ( Pi<y )时， j∗y （ y>√n ）这个合数被 Pi∗u 筛掉了，所以只需循环到√ n ，且当 j<i 时，筛 i∗j 没有意义（ i∗j 已经被筛），所以 i 只需循环到√ n ，且枚举 j 时，可以从i开始枚举。

Code(pascal) optimization

    for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do
    if bz[i] then  //判断质数
    for j:=i to n div i do  //枚举i的乘数j（j≥i）
    bz[i*j]:=false;  //筛数

线性筛法

现在开始讲主角了，先看看代码。

Code(pascal) linear

for i:=1 to n do
begin
    if bz[i]=false then  //i为素数则bz[i]=false,为合数则bz[i]=true
    begin
        inc(o);
        s[o]:=i;  //s为素数数组
    end;
    for j:=1 to o do
    begin 
        bz[i*s[j]]:=true;
        if (i mod s[j]=0) or (i*s[j]>n) then break;  //难点？？？重点！！！超强优化！？！？！？ 
    end;
end;

重点在于为什么i mod s[j]就不需要筛了？
事实上我们这样每个合数只会被筛一遍。
接下来我们需要证明两个东西：
1、质数一定不会被筛。
2、合数一定会被筛，且只会被筛一次。
我们知道质数只有一个质因数，因此，所以不会被两个大于1的数的乘积所筛。
对于合数，我们设合数 K=P1∗P2∗P3∗...∗Pm−1∗Pm（Pw≤Pw+1）
所以使得循环break掉的素数就是 P1 ，所以比 P1 大的质数（设其为 U ），不会在此时把 （i∗U） 筛掉，但是 （i∗U） 一定会被筛掉.
(i∗U)=P1∗P2∗P3∗...∗Pm−1∗Pm∗U(U>P1)
=U∗P2∗P3∗...∗Pm−1∗Pm∗P1
=i′∗P1(i′>i)
又因为 i′ 没有比 P1 要小的质因数，所以当 i=i′ ,一定会枚举到 P1 此素数将 P1∗i′（i∗U） 筛掉。
通过上面我们可以知道，每个合数只会被自己最小的质因数乘上某数筛掉，因此只会被筛一次且一定被筛，所以时间复杂度就降至了 O(n) 。