HDU3117 Fibonacci Numbers【数学】

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3117

题目大意：

给你一个整数N(0 <= N <= 10^8)，求斐波那契数列第N项F[N]的前四位数字和末尾四位数字。

思路：

斐波那契数列是一个很大的数，直接暴力枚举显然不科学。先考虑末尾4位是否有循环节，写个

程序发现循环节是15000，直接用数组存储前15000的斐波那契数列的末尾4位。至于斐波那契

数列的前4位。通过计算得出N >= 40之后，F[N]就大于8位数了。对于N < 40的部分可以直接

输出结果，对于N >= 40的部分，考虑公式 F[N] =(1/√5) * ( ((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n )。

设F[N]可表示为t * 10^k(t为一个小数)，那么对F[N] = t * 10^k两边分别取对数log10，得到：

log10(F[N]) = log10(t) + k 。log10(t) = log10(F[N]) - k，因为t肯定是小于10的小数，所以，

log10(t) < 1，而且k为整数，那么log10(t)的值就是log10(F[N])去掉整数部分的小数部分。

用pow(10.0，log10(t))求出t。将t*1000取整数部分就得到了F[N]的前4位。

还有一点，求F[N] = (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n )的时候，因为N>=40的时候，

((1-√5)/2)^n已经是一个非常小的小数(小数点后10位左右)，所以可以直接忽略。这样子，

F[N] ≈ (1/√5) * ((1+√5)/2)^n。log10(F[N])化简为：1/sqrt(5.0) + N*log10(1+(sqrt(5.0))/2.0)。

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

int f[15010],f1[110];

int main()
{
    f[0] = 0,f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 15001; i++) //保存后四位
        f[i] = (f[i-1] + f[i-2])%10000;

    f1[0] = 0,f1[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 100; ++i)     //0~39
    {
        f1[i] = (f1[i-1] + f1[i-2]);
        if(f1[i] >= 100000000)
        {
            break;
        }
    }

    int N;
    while(cin >> N)
    {
        if(N <= 39)
            cout << f1[N] << endl;
        else
        {
            double temp = log10(1/sqrt(5.0)) + N*log10((1+sqrt(5.0))/2.0);
            temp -= (int)temp;
            temp = pow(10.0,temp);
            while(temp < 1000)
                temp *= 10;
            int ans = (int)temp;
            printf("%d...",ans);
            printf("%4.4d\n",f[N%15000]);
        }
    }


    return 0;
}