《算法导论》笔记－－B树

 

《算法导论》笔记－－B树

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算法 C C++ C# 数据结构

 

B树是平衡树的一种，主要用于操作存储在磁盘等二级存储设备上的大量数据。相比起内存（主存）来说，磁盘操作的速度非常慢（慢几个数量级），所以涉及到存储在磁盘的数据的时候，尽量减少磁盘的读取和写入操作对于提高操作速度是非常重要的。B树就是针对这个特点进行设计以满足相应要求的。

 

B树的性质：

• 1. B树内的每一个节点x都具有以下字段：
  • 当前存储在节点x中的关键字（key）个数n[x]。
  • 存储在x节点中的n[x]个关键字是以非降序的顺序排列的，即：key₁[x] ≤key₂[x]......≤key_n[x][x]。
  •  一个表示x节点否是叶节点的bool值leaf[x]。
• 2. 每个内节点拥有指向n[x]+1个指向叶节点的指针，c₁[x]，c₂[x]......c_n[x]+1[x]。叶节点没有c_i[x]域
• 3. 节点x的key值，将子节点的key值范围分开了。如果ki是ci[x]指向的子节点的任意一个key的值，那么有：
  k₁ ≤ key₁[x] ≤ k₂ ≤ key₂[x] ≤ ≤ key_n[x][x] ≤ k_n[x]+1.
• 4. 所有的叶节点具有相同的深度，这个深度也就是树高h。
• 5. 一个节点可容纳的关键字数目是有上下限的。这个界限可以用包含一个大于2的整数t的表达式来表示，这个数t称为B树的最小度。
  • 除根节点外，每个节点至少要包含t-1个关键字（key），每个内节点（除根外）至少要包含t个关键字。一棵非空的B树，根节点至少要包含一个key。
  • 每个节点最多包含2t-1个关键字，因此，内节点最多有2t个子节点。对于一个包含2t-1个关键的节点，我们就称这个节点满了。

 

B树的每个节点都会拥有大量的子节点，而B树树高也很小。一般情况下，每个节点都会存储大量的关键字，使得节点大小接近磁盘页面大小，因为磁盘读取一个页面的数据时，相对会快一些（由于机械结构方面的原因，读取连续一个页面的数据，机械臂移动很小）。另外，根据B树的构造方式，节点的关键越多，也就能拥有越多的子节点，这对降低B树的高度很关键，B树的树高越小，那么读取磁盘的操作也会越少。速度也就相应得到提高。

 

B树的高度: h<log_t(n+1/2)

 

B树的查找操作（Search）：

B树的查找操作比较简单，可以看成是二叉查找树查找操作的简单扩展。因为每个节点中的key都是有序排列的，所以只需要从根节点开始，对每个节点进行如下的递归操作：

将目标keyTarget从节点x的最小关键值key₁[x]开始比对，一直找到keyTarget第一次大于某个关键值key_i[x]，可知，如果keyTarget等于key_i+1[x]，则key_i+1[x]就是要找查找的对象，如果keyTarget不等于key_i+1[x]，那么，keyTarget就是存在于c_i+1[x]所指向的子树中。然后在这个子树根节点重复上述查找过程，一种到找到目标对象，或是到叶节点后仍然无法找到该对象，则返回NULL。

 

B树的创建

B树的创建很简单，就是创建一个空的根节点即可。要注意的是，不论是B树的创建或是插入操作中，都需要创建新的节点的操作（ALLOCATT_NODE）。这个操作会分配一般是分配一个新的磁盘页的空间供B树使用。

 

B树的插入操作

B树插入操作不像二叉查找树（先找到合适位置，然后创新一个新节点插入该位置）那样单纯，显然这样做会破坏B树的应有性质。因此，对于B树，新的key值会插入到某个节点中。但对于满的节点，也是不能直接插入新key值的。这时就需要一个节点的split（分裂）操作。把满的节点，分成两个新节点，这两个新节点各得原节点的一半key值和一半节点，原节点中最中间的key提升到父节点去作为新节点的区分标志。这样，就解决了向满节点插入的key值的问题。但这样求父节点本身是非满状态的，否则子节点中提升上来的key值就不能正常插入了。因此，对于B树的插入操作来说，从根开始往下寻找新key值插入位置的时候，只要一遇到满节点，就立即进行split，而不是等到在叶节点进行插入操作后遇到节点满状态再split。这样，就可以在进行split操作时，保证被分裂的节点始终有一个非满状态的父节点。

 

对于根节点，也要进行特殊和处理，（根很特殊，因为我们知道树根只有一个，而且根节点是始终放在主存中的，指向它的引用也是唯一且需要保持的。根节点可以存任意不超过2t-1个key而没有下限限制。）在根节点进行split时，我们还需要维持一些其它的属性（特别是对树根的引用）。

 

B树的删除操作

• 1. 如果键值k是在一个叶节点x中，那么直接从x中删除掉k。
• 2. 如果键值k是在一个内节点x中，那么要分下面几种情况处理：
  • A) 如果x的子节点y（这个节点是关键值k的直接前趋键值所在的子节点）含有至少t个键值，则找到这个键值的直接前趋k'，递归地删除k'值，然后在x节点中用k'代替k值。（查找和删除k'值可以在单向向下的过程中完成）
  • B) 对称地，如果x的子节点z（关键值k的直接后继键值所在的子节点）含有至少t个键值，则查找找到并递归删除掉直接后继k'，然后在x节点中用k'代替k。
  • C) 如果上面两种情况中说的y和z中都只有t-1个键值存在，那么就将k和z的全部键值合并到y节点中，这样x节点就失去了一个键值k和指向z的指针。然后释放z节点，并继续递归地删除y中的k值。
• 3. 如果k不在内节点x中，则找到以c_i[x]为根的包含k值的那棵子树（如果k值确实存在的话）。如果c_i[x]只有t-1个键值，就执行3a或是3b以保证我们在向下寻找的过程中到达的节点都是含有至少t个键值的。最后递归过程会在某个节点终止（删除了k或是找不到k）
  • A) 如果c_i[x]只有t-1个键值但其直接相邻的兄弟节点有t个以上的键值，那么，从x节点中移一个键值给c_i[x]，再从c_i[x]相邻的兄弟节点中移一个键值上来给x，并对指向子节点的指针进行适当地调整。
  • B) 如果c_i[x]和它相邻的兄弟节点都只有t-1个键值，那么就将c_i[x]和其中一个兄弟节点合并（这还需要把x中的一个键值移动到新节点中成为一个中间键值。）

                                       

 

 

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