模拟复数及其运算

复数

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。

形如z=a+bi的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意实数）。我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part)记作Rez=a，实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b。

已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数　　当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数

共轭复数

对于复数z=a+bi，称复数z'=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作z。表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。

复数的运算

加法

z1=a1+b1i, z2=a2+b2i

z1+z2 = (a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i

乘法

z1=a1+b1i, z2=a2+b2i

z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)

= (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i

除法

z1=a1+b1i, z2=a2+b2i

z1/z2 = [(a1a2 + b1b1) + (a2b1-a1b2)i]/(a2a2 + b2b2)

复数的模

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.　　即对于复数z=a+bi，它的模　　∣z∣=√（a^2+b^2)

棣莫佛定理

对于复数z=r(cosθ+isinθ），有z的n次幂

z^n=(r^n)*[cos(nθ）+isin(nθ）]　（其中n是正整数）

开方法则

　若z^n=r(cosθ+isinθ），则

　z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0,1,2,3……n-1)

模拟复数及其运算的源码实现

package cn.edu.jxau.image;

/**
 * 用y = a+bi;模拟复数
 * @author luoweifu
 *
 */
class Complex {
	private double a;
	private double b;
	
	public Complex(double a, double b) {
		this.a = a;
		this.b = b;
	}
	
	public double getA() {
		return a;
	}

	public double getB() {
		return b;
	}

	/**
	 * 求一个复数和一个实型数据的和；
	 * @param a 实数
	 * @return 结果（复数）
	 */
	public Complex add(double a) {
		this.a = this.a + a;
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求解两复数的和
	 * z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
	 * z1+z2 = (a1+a2) + (b1+b2)i
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex add(Complex c) {
		a = a + c.getA();
		b = b + c.getB();
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求一个复数和一个实型数据的差；
	 * @param x
	 * @return
	 */
	public Complex minus(double x) {
		a = a-x;
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求解两复数的差
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex minus(Complex c) {
		a = a - c.getA();
		b = b - c.getB();
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求一个复数和一个实型数据的积；
	 * @param r
	 * @return
	 */
	public Complex multiply(double r) {
		a = a* r;
		b = b*r;
		return this;
	}
	/**
	 * 复数的乘法
	 * z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
	 * z1*z2 = (a1+b1i)*(a2+b2i)= (a1a2-b1b2) + (a1b2+a2b1)i
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex multiply(Complex c) {
		double a1 = this.a, b1 = this.b;
		double a2 = c.getA(), b2 = c.getB();
		a = a1*a2 - b1*b2;
		b = a1*b2+a2*b1;
		return this;
	}
	/**
	 * 复数的除法
	 * z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
	 * z1/z2 = [(a1a2 + b1b1) + (a2b1-a1b2)i]/(a2a2 + b2b2)
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex division(Complex c) {
		double a1 = this.a, b1 = this.b;
		double a2 = c.getA(), b2 = c.getB();
		a = (a1*a2 + b1*b2)/(a2*a2 + b2*b2);
		b = (a2*b1 - a1*b2)/(a2*a2 + b2*b2);
		return this;
	}
	
	@Override
	public String toString() {
		if(b>=0) {
			return a + "+" + b + "i";
		} else {
			return a + "" + b + "i";
		}		
	}
	/**
	 * 求复数的模
	 * @return
	 */
	public double model() {
		return Math.sqrt(a*a + b*b);
	}
	/**
	 * 复数的n次幂
	 * @param n
	 * @return
	 */
	public Complex pow(int n) {
		double r = model();
		double o = Math.atan2(b, a);
		a = Math.pow(r, n)*Math.cos(n*o);
		b = Math.pow(r, n)*Math.sin(n*o);
		return this;
	}
	/*
	public double sqrt(int n) {
		double r = model();
		double o = Math.atan2(b, a);		
		//Math.
		return 0;
	}
	*/
	/*public static void main(String[] args) {
		Complex c1 = new Complex(5, 3);
		Complex c2 = new Complex(1, 2);
		
		c1.add(4);
		System.out.println("复数(5+3i)与实数4的和为："+c1);
		
		c1.add(c2);
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的和为："+c1);
		
		c1.minus(4);
		System.out.println("复数(5+3i)与实数4的差为："+c1);	
		
		c1.minus(c2);	
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的差为："+c1);
		
		c1.multiply(7);
		System.out.println("复数(5+3i)与实数7的积为："+c1);		
		
		c1.multiply(c2);
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的积为："+c1);
		
		c1.division(c2);
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的商为："+c1);
		//System.out.println(Math.pow(81, 0.25));
	}*/
	
}

复数的几何表示法

　①几何形式　　

复数z=a+bi 被复平面上的点 z（a，b ）唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。　

　②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。　

　③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式　

　z=r（cosθ+isinθ）　　式中r= √（a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）　

　θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作arg(z)　　这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

　　④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ），复数就表为指数形式z=rexp(iθ）