重温小时候的“数学归纳法”（From：维基百科）

摘取自维基百科：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95

 

数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并不是不严谨的归纳推理法，它是属于完全严谨的演绎推理法。

 

 

定义

最简单和常见的数学归纳法是证明当 n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程。

1. 证明当 n = 1 时命题成立。
2. 证明如果在 n = m 时命题成立，那么可以推导出在 n = m+1 时命题也成立。（m 代表任意自然数）

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

1. 证明第一张骨牌会倒。
2. 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒。

例子

假设我们要证明下面这个公式（命题）：

其中 n 为任意自然数。这是用于计算前 n 个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。

第一步

第一步是验证这个公式在 n = 1 时成立。我们有左边 = 1，而右边 = 1(1 + 1) / 2 = 1，所以这个公式在 n = 1 时成立。第一步完成。

第二步

第二步我们需要证明如果假设 n = m 时公式成立，那么可以推导出 n = m+1 时公式也成立。证明步骤如下。

我们先假设 n = m 时公式成立。即

 （等式 1）

然后在等式等号两边分别加上 m + 1 得到

 （等式 2）

这就是 n = m+1 时的等式。我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。通过因式分解合并，等式 2 的右手边

也就是说

这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。证明至此结丛，结论：对于任意自然数 n，P(n) 均成立。

解释

在这个证明中，归纳推理的过程如下：

1. 首先证明 P(1) 成立，即公式在 n = 1 时成立。
2. 然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。（这里实际应用的是演绎推理法）
3. 根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。
4. 继续推导，可以知道 P(3)成立。
5. 从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。
6. 不断重复推导下一命题成立的步骤。（这就是所谓“归纳”推理的地方）
7. 我们便可以下结论：对于任意自然数 n，P(n) 成立。