动态规划之爬楼梯

LeetCode地址：爬楼梯

• 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
• 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
• 注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
 -  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
 -  1 阶 + 2 阶
 -  2 阶 + 1 阶

• 第一种方法 动态规划
  1.确定dp数组 dp[i]爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法，
  2.确定递推公式
  从dp[i]的定义可以看出dp[i]可以从两个方向推导
  首先达到dp[i-1]的位置，再跳一个台阶就到了dp[i]的位置，有dp[i-1]种情况，或者是先到达dp[i-2]的位置，再跳两个台阶就到达dp[i]的位置，有dp[i-2]种情况，所以递推公式为dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
  3.确定初始化
  dp[i]是指第几层楼梯的走法，所以如果i=0,dp[0]=1,i=1,dp[1]=1。
  4.确定遍历顺序
  从递推公式dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，可以看出遍历顺序时从前向后的
  5.举例推导dp数组
  例如n=3时，dp[3]=3
  时间复杂度O(n) 空间复杂度O(n)

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<2){
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];

    }
}

• 第二种方法简化dp数组用常量替代
  空间复杂度O(1) 时间复杂度O(n)

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<2){
            return 1;
        }
        int a = 1;
        int b = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            int c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return b;

    }
}

• 第三种 递归
  空间复杂度O(n) 时间复杂度O(2^n)
  这道题因为数据大会超出时间限制。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<2){
            return 1;
        }
       return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
}