CS:APP读书笔记--信息的表示和处理

信息的存储和表示

字节端序

在内存中按照从最低到最高有效字节的顺序存储对象，这种最低有效字节在最前面的方式，称为小端法。

在内存中按照从最高到最低有效字节的顺序存储对象，这种最高有效字节在最前面的方式，称为大端法。

例如：对于int32类型变量，其存储地址位于0x100，其十六进制值为0x12345678，其地址范围为ox100~0x103：

// 大端法
地址：0x100 0x101 0x102 0x103
     12    34    56    78

// 小端法
地址：0x100 0x101 0x102 0x103
     78    56    34    12

大端法表示与正常书写时的字节顺序一致。

• 按照字节序列打印数据

#include 

typedef unsigned char* byte_pointer;

void show_bytes(byte_pointer start, int len) {
    int i;
    for (i = 0; i < len; i++) {
        printf("%02x ", start[i]);
    }
    printf("\n");
}

void show_int(int x) {
    show_bytes((byte_pointer) &x, sizeof(int));
}

void show_float(float x) {
    show_bytes((byte_pointer) &x, sizeof(float));
}

void show_pointer(void* x) {
    show_bytes((byte_pointer) &x, sizeof(void*));
}

在使用ASCII码作为字符码的任何系统上都将得到相同的结果，与字节顺序和字节大小规则无关。因而，文本数据比二进制数据具有更强的平台独立性。

位移运算

位移表示对一个二进制位向左位移和向右位移。

向左位移：左移k位，并丢弃最高的k位，并在最后补0。

**向右位移：**向右位移分为逻辑右移和算术右移。

• 逻辑右移：向右移k位，并在左端补k个0；
• 算术右移：向右移k位，并在左端填充符号位。（几乎所有机器或编译器都使用算术右移）

// 算术右移 0x8A -118 >> 3 = -15
1000 1010 // -118
// 右移3位，由于是负数，因此在最左边3位补 1
1111 0001 // -15

整数表示

整数取值，负数的范围比正数大1。一般定义：

#define INT_MAX 0x7fffff
#define INT_MIN -INT_MAX - 1

无符号数编码：

1001: 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 9
1010: 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 10
1111: 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 15

补码编码：最常见的有符号数的计算机表示方式就是补码。补码中，将最高有效位解释为负权。

1001：1 * 2^(-3) + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = -7
1010: 1 * 2^(-3) + 1 * 0^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = -6
1111: 1 * 2^(-3) + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = -1

有符号数和无符号数之间的转换：强制类型转换的结果保持位值不变，只是改变了解释这些位的解释方式。

• 补码转换位无符号数：w位的补码数字， 当 x >= 0时，直接转换；当x < 0时为-2^w + x;
• 无符号数转为补码： w位的补码数字， 当x <= 2^(w-1) - 1时，直接转换；当x > 2^(w - 1) - 1时，为x - 2^w

short int v = -12345; 
// 1100 1111 1100 0111 ->
unsigned short uv = (unsigned short) v;
printf("v = %d, uv = %u\n", v, uv); // v = -12345, uv = 53191

对于C语言，如果一个数是有符号，另一个是无符号，那么C语言会隐式地将有符号参数强制转换为无符号数，并假设这两个数都是非负数。

// INT_MAX = 2147483647 INT_MIN -2147483648

int b1 = -1 < 0;	// 1
int b2 = -1 < 0;	// 1
int b3 = 2147483647 > -2147483647 - 1;	// 1
int b4 = 2147483647U > -2147483647 - 1;	// 0
int b5 = 2147483647 > -2147483647 - 1U; // 0

扩展一个数字的位表示：

• 无符号数：简单的在高位填充0；
• 有符号数：最高位填充符号位。需要先改变大小，再完成从有符号位到无符号的转换。

截断数字：

• 截断无符号数：等价于计算该值模2^w，x mod 2^k
• 截断补码数字：位阶与截断无符号数一致，可以先按照无符号数截断，再按照补码解释，即最高位的权重为-2^w

整数运算

无符号加法：对满足 0 <= x, y <= 2^w

• 当 x + y < 2^w时，正常输出，为x + y

• 当-2^w <= x + y < 2^(w + 1)时，发生溢出，此时结果为x + y - 2^w

• 判断无符号加法是否溢出：x + y >= x表示没有溢出，否则溢出了

无符号数取反：对满足 0 <= x < 2^w

• 当x = 0时，返回x
• 当x > 0时，返回2^w - x

补码加法：对满足-2^(w-1) < x, y < 2^(w-1) - 1

• 当x + y >= 2^(w-1)时，结果减去2^w，表示为x + y - 2^w
• 当-2^(w-1) <= x + y < 2^(w-1)，正常输出为x + y
• 当x + y < -2^(w-1)时，结果加上2^w，表示为x + y + 2^w
• 补码加法与无符号加法在位级表示上一致

补码取反：对满足-2^(w-1) < x < 2^(w-1) - 1

• 当x = TMin时，返回TMin

• 当x > TMin时，返回 -x

• 计算：-x = ~x + 1

  // 例如 5 -> -5，0101 -> 1011
  5 -> 0101
  ~5 -> 1010 = -6-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  ~5 + 1 -> 1010 = -5
  

  无符号乘法：对满足 0 <= x < 2^w，其结果为(x.y)mod2^w，在大多数机器上，乘法指令很慢，需要10个或更多时钟周期。

  补码乘法：对满足-2^(w-1) < x, y < 2^(w-1) - 1

  • 补码乘法与无符号乘法在位级别上表示一致，x * K
    • 形式A：K = 2^a + 2^b + 2^c => (x<
    • 形式B：K = x^(a + 1) - 2^b => x<<(a+1) - x<
  • 因此可以先按照无符号乘法计算，再转换为补码表示

  除以2的幂：整数除法比乘法更慢，需要30个或更多时钟周期。除以2的幂可以用右移来实现。

  • 无符号数右移是逻辑右移：逻辑右移k位与除以2^k再舍入到零(舍去小数部分)是相同的结果。
  • 补码右移是算术右移：算术右移是向零舍入，补码除法是向下舍入。可以在移位之前，偏置这个值，来修正这种不合适的舍入，(x + (1<> k

  浮点数

二进制浮点数表示：101.11 = 1 * 2^2 + 1 * 2^0 + 1 * 2^(-1) + 1 * 2^(-2) = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 23/4.

小数的二进制表示法只能表示那些能够被写为x + 2^y的数

IEEE浮点数表示：V=(-1)^s * M * 2^E 。浮点数的三个基本组成部分：符号位、阶码位（或指数位）和尾数位（或小数位）：

• s为示符号位。这是一个二进制位，用于表示浮点数的正负。0代表正数，1代表负数。
• E为阶码。用于表示浮点数的指数，即小数点相对于尾数部分移动的位置。在IEEE 754中，阶码通常采用偏移量的表示方式，这样可以表示更大范围的指数。对于单精度浮点数（32位），阶码占8位，实际存储的是e-Bias，其中e是实际指数，Bias是一个预设的偏移量（对于单精度，Bias是127；对于双精度，Bias是1023）。
• M为尾数。也称为小数位，记录了浮点数的有效数字。在IEEE 754中，尾数通常是一个二进制小数，而且为了节省空间，会省略掉最高位的1（因为对于正常的非零数，这个位置总是1），所以实际存储的是小数点后的部分。

IEEE 标准还定义了一些特殊值，用于表示特定的数学情况或错误：

• ​ 无穷大：当阶码位全为1，尾数位全为0时，表示无穷大。如果符号位为0，则是正无穷大；如果为1，则是负无穷大。
• NaN：当阶码位全为1，尾数位不全为0时，表示非数值。这通常用于表示无效的数学运算，比如0除以0或对负数开根号等。
• 非规格化数值：当阶码位全为0，表示非规格化数值，阶码值为1-Bias。主要有两个用途：
  • 表示0：当阶码位与小数位全为0时，表示0。而根据符号位的不同，还可以表示为+0.0或-0.0。
  • 表示非常接近0.0的数，它们提供了一种属性，称为下溢。

/* 例如：8位的浮点数，阶码位为4，小数位为3。Bais = 2^4 - 1 = 7*/

/* 非规格化数值：阶码计算为 1 - Bais = -6 */
0 0000 000		
/* 表示+0.0 */
0 0000 001		
/* 最小的非规格化数：
 * 权：E = 1 - 7 = -6，权 2^E = 1/64
 * 小数部分 f = 0 * 2^(-1) + 0 * 2^(-2) + 1 * 2^(-3) = 1/8
 * 值： 1/64 * 1/ 8 = 1/512
 */
0 000 1119-+8*/7····z
    468*8*8*8*8*8*
/* 最大的非规格化数：
 * 权：E = 1 - 7 = -6，权 2^E = 1/64
 * 小数 f = 1 * 2^(-1) + 1 * 2^(-2) + 1 * 2^(-3) = 7/8
 * 值：1/64 * 7/8 = 7/512
 */
    
/* 规格化值：阶码计算为 2^e - Bais */
0 0001 000
/* 最小的规格化值
 * 权：E = 1 - 7 = -6，权 2^E = 1/64
 * 小数：1 + 0
 * 值：1/64 * 1
 */
0 0111 000
/* 1
 * 权：7 - 7 = 0 权：1
 * 小数：1 + 0
 * 值：1 * 1
 */
0 1110 111
/* 最大的规格化数
 * 权：E = 14 - 7 = 7 权：2^E = 128
 * 小数：1 + 7/8 = 15/8
 * 值：128 * 15/8 = 240.0
 */
    
/* 特殊值 */
0 1111 000	/* +0.0 */
1 1111 000  /* -0.0 */

IEEE 标准定义了两种主要的浮点数类型：单精度和双精度：

• 单精度浮点数：使用32位表示，其中1位是符号位，8位是阶码位，23位是尾数位。
• 双精度浮点数：使用64位表示，其中1位是符号位，11位是阶码位，52位是尾数位。

舍入：对于值x，能够找到最接近的匹配值，它可以用期望的浮点数表示出来，这就是舍入运算的任务。IEE有四种舍入方式：

• 向偶数舍入：也被称为向最近的值舍入，是默认的方式。其规则如下：

  • 如果小数部分小于0.5，则舍去小数部分（即向下舍入）；
  • 如果小数部分大于0.5，则向上舍入；
  • 如果小数部分等于0.5，则舍入到最近的偶数。

  2.4 -> 2
  2.6 -> 3
  2.5 -> 2 /* 小数部分是 0.5，最后一位是偶数，则舍去小数，返回 2 */
  1.5 -> 2 /* 小数部分是 0.5，最后一位是奇数，则向上舍入，返回 2 */
  

• 向零舍入：直接截尾，不考虑小数部分的值，即向数轴零点方向舍入。x向零舍入为x0，那么|x0| < |x|；

• 向上舍入：把正数和负数都向下舍入。x向上舍入得到 x+，那么x <= x+

• 向下舍入：把正数和负数都向下舍入。x向下舍入得到x-，那么x- <= x