前缀和：K倍区间

前缀和：K倍区间

K 倍区间

www.acwing.com/problem/content/1232/

• 任取一个 $i$ 作为这个区间的右端点，那么就是求能令 $S_i-S_{i-k}\equiv 0$ 的 $k $ 的个数 $k\in [1,i]$。$s[r]\%k$ 和 $s[l-1]\%k$ 的余数如果相等，那么 $s[r]-s[l-1]$ 的差值必然是 k 的倍数。

• $S_i-S_{i-k}\equiv 0\to S_i\equiv S_{i-k}modk$ 即计算 $S_0,...S_{i-1}$ 中与 $S_i$ 模 $k$ 的余数相同的个数。需要统计所有满足 $s[j]\%K==s[i-1]\%K$ 的 $(i,j)$ 对。

• 创建哈希表 cnt[x]​，表示余数为 $x $ 的数的个数。假设 s[i] = 3，在后边的循环中，又出现了一个 s[i] = 3，那么此时，这个“3”可以和前边出现过的所有的“3”分别构成一个 K 倍区间，前边的“3”一共出现过 cnt[s[i]]​ 次，所以此时又新增了 cnt[s[i]]​ 个 K 倍区间。

• 为什么初始化 cnt[0] = 1​？

  • ​cnt[mod]​ 记录的是余数为 mod​ 的前缀和的数量。
  • 初始时，s[0] = 0​，且 0 % K = 0​，所以 cnt[0]​ 应该初始化为 1。
  • 如果不初始化 cnt[0] = 1​，则会漏掉所有 s[j] % K == 0​ 的区间（即 [1, j]​ 的区间）。

import java.util.*;

public class Main {
    static final int N = 100010;
    static int[] cnt = new int[N];
    static long[] s = new long[N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            s[i] = sc.nextLong();
            s[i] += s[i - 1];
        }

		cnt[0] = 1;		// s[0]=0
        long res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int mod = (int) (s[i] % k);
            // 先加上与Si模k相同的数
            res += cnt[mod];
            // 再递增
            cnt[mod]++;
        }
        System.out.println(res);
    }
}