拐点 两侧的 f‘‘(x) 是否变号

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一、拐点的定义

• 函数的凹凸性发生了变化。

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二、判断拐点的方法

1. 利用二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$

步骤如下：

✅ Step 1：求二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$

✅ Step 2：找出使 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 或不存在二阶导数的点

✅ Step 3：判断这些点两侧的 $f^{\prime \prime }(x)$ 是否变号

• 变号 ⇒ 是拐点
• 不变号 ⇒ 不是拐点

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三、与凹凸性的关系

区域	函数的凹凸性	数学判断条件
凹（concave down）	向下弯曲（像“山”）	$f^{\prime \prime }(x)<0$
凸（concave up）	向上弯曲（像“碗”）	$f^{\prime \prime }(x)>0$
拐点	凹凸改变	$f^{\prime \prime }(x)$ 变号

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