数学建模期末速成 聚类分析与判别分析

聚类分析是在不知道有多少类别的前提下，建立某种规则对样本或变量进行分类。判别分析是已知类别，在已知训练样本的前提下，利用训练样本得到判别函数，然后对未知类别的测试样本判别其类别。

聚类分析

根据样本自身的属性，用数学方法按照某些相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行分类。常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。对样本进行分类称为Q型聚类分析，对指标进行分类称为R型聚类分析。

数据变换

由于样本数据矩阵由多个指标组成，不同指标一般有不同的量纲，为消除量纲的影响，通常需要进行数据变换处理。常用的数据变换方法有：

• 中心化处理：先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值
  $$\begin{gathered} b_{ij}=a_{ij}-{\mu }_j,i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,p, \\ \text{式中}:{\mu }_j=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}}{n} \end{gathered}$$
• 规格化处理：每一个变量的原始数据减去该变量中的最小值，再除以极差
  $$b_{ij}=\frac{a_{ij}-{\min }_{1\le i\le n}\left(a_{ij}\right)}{{\max }_{1\le i\le n}\left(a_{ij}\right)-{\min }_{1\le i\le n}\left(a_{ij}\right)},i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,p.$$
• 标准化变换：先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化
  $$\begin{gathered} b_{ij}=\frac{a_{ij}-{\mu }_j}{s_j},i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,p, \\ \text{式中}:{\mu }_j=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}}{n};s_j=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(a_{ij}-{\mu }_j\right)}^2}\circ \end{gathered}$$

样品(或指标)间亲疏程度的测度计算

研究样品或变量的亲疏程度或相似程度的数量指标通常有两种：

• 相似系数，性质越接近的变量或样品，其取值越接近于1或-1，而彼此无关的变量或样品的相似系数则越接近于0，相似的归为一类，不相似的归为不同类。
• 距离，它将每个样品看成p维空间的一个点，n个样品组成p维空间的n个点。用各点之间的距离来衡量各样品之间的相似程度（或靠近程度）。距离近的点归为一类，距离远的点属于不同的类。

对于变量之间的聚类(R型)常用相似系数来测度变量之间的亲疏程度，而对于样品之间的聚类(Q型)，则常用距离来测度样品之间的亲疏程度。

相似系数的计算

• 夹角余弦
  $$\cos {\theta }_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^p{b}_{ik}{b}_{jk}}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^p{b}_{ik}^2}\cdot \sqrt{{\sum }_{k=1}^p{b}_{jk}^2}},i,j=1,2,\cdots ,n.$$
• 皮尔逊相关系数
  $$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^p(b_{ik}-{\overline{\mu }}_i)(b_{jk}-{\overline{\mu }}_j)}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^p(b_{ik}-{\overline{\mu }}_i{)}^2}\cdot \sqrt{{\sum }_{k=1}^p(b_{jk}-{\overline{\mu }}_j{)}^2}},i,j=1,2,\cdots ,n,\text{式中}:{\overline{\mu }}_i=\frac{{\sum }_{k=1}^p{b}_{ik}}{p}$$

距离计算

• 闵式距离
  $$...$$
• 马氏距离
  $$d\left({\omega }_i,{\omega }_j\right)=\sqrt{\left({\omega }_i-{\omega }_j\right)\sum ^{-1}{\left({\omega }_i-{\omega }_j\right)}^{\mathrm{T}}}$$
  $$\begin{array}{rl}& \text{式中:}{\omega }_i\text{ 表示矩阵 }B\text{ 的第 }i\text{ 行};\mathbf{\Sigma }\text{ 表示观测变量之间的协方差阵},\mathbf{\Sigma }={\left({\sigma }_{ij}\right)}_{p\times p},\text{其中}\\ & {\sigma }_{ij}=\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n\left(b_{ki}-{\mu }_i\right)\left(b_{ij}-{\mu }_j\right),i,j=1,2,\cdots ,p,\\ & \text{式中}:{\mu }_j=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_{kj}\end{array}$$

基于类间距离的系统聚类

系统聚类法是聚类分析方法中使用最多的方法。其基本思想是：距离相近的样品(或变量)先聚为一类，距离远的后聚成类，此过程一直进行下去，每个样品总能聚到合适的类中。它包括如下步骤
(1)将每个样品（或变量）独自聚成一类，构造n个类。
(2)根据所确定的样品（或变量）距离公式，计算个样品（或变量）两两间的距离，构造距离矩阵，记为$D_{(0)}$
(3)把距离最近的两类归为一新类，其他样品（或变量）仍各自聚为一类，共聚成n-1类。
(4)计算新类与当前各类的距离，将距离最近的两个类进一步聚成一类，共聚成-2类。以上步骤一直进行下去，最后将所有的样品（或变量）聚成一类。
(5)画聚类谱系图。
(6)决定类的个数及各类包含的样品数，并对类做出解释

类与类之间的距离

最短距离法
最长距离法
其他系统聚类方法

• 重心法
• 类平均法
• 离差平方和法

动态聚类法

…

R型聚类法

…

判别分析

距离判别法(最近邻方法)

距离判别法的基本思想：根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组（类）的均值，对任意给定的一个样品，若它与第 i 类的重心距离最近，就认为它来自第 i 类。因此，距离判别法又称为最近邻方法。

Fisher判别

Fisher判别的基本思想是投影，即将表面上不易分类的数据通过投影到某个方向上，使得投影类与类之间得以分离的一种判别方法