2025认证杯数学建模第二阶段B题完整论文（代码齐全）：谣言在社交网络上的传播

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问题分析

2.1 问题一的分析

本题旨在设计出检测次数尽可能少的抽样检测方案。然而，由于题目未给出具体的产品数量以及相关数值，所以无法直接运用传统的抽样检测方法（如随机抽样、系统抽样和分层抽样等）来得出答案。

根据题目条件，我们进行如下假设：用 0 表示合格品，用 1 表示次品，进而建立二项分布来描述次品在所有产品中的分布概率情况，其中标称值 10%即为该二项分布的均值。考虑到电子产品通常具有较大的生产规模，依据棣莫弗 - 拉普拉斯定理，我们对原有的二项分布模型进行了修改，将次品率的分布近似看作正态分布。

但由于题目所提供的产品具体参数有限，我们仅能确定该正态分布的期望 μ，而无法得知其方差。因此，我们采用假设检验的方法，将次品分布构造成 t 分布，从而确定在相应置信度的条件下，抽样次数 n 和次品数 k 所需满足的要求。

2.2 问题二的分析

对于问题二的决策分析，我们可将其细分为四个关键的决策节点，分别是零件 1 的质量检测、零件 2 的质量检测、成品的质量检测，以及成品检测不合格时的拆解处理。为了深入剖析生产流程的运作机制以及各决策节点所产生的影响，本研究采用决策树分析法进行详细梳理。

经过深入分析，我们发现存在两个主要的反馈循环。其一，成品中检测出的次品会通过拆解流程转化为待检测零件；其二，销售至客户的成品可能因质量问题被退回，重新归类为次品。这两个闭环反馈机制对于生产流程的优化具有至关重要的意义。

鉴于本问题的路径数量相对有限，我们采用蒙特卡洛模拟方法进行详尽的利润分析。通过对所有可能路径的利润进行逐一计算和比较，我们能够明确在何种路径下利润可达到最大值，进而得出最优决策路径。

为了进一步优化模型，我们引入蚁群算法对蒙特卡洛模拟进行优化。蚁群算法借助信息素的正反馈机制和启发式信息的引导，能够帮助我们寻找更优的决策路径。

2.3 问题三的分析

在深入研究问题三的决策分析问题时，我们延续了与问题二相同的理论路径，继续运用蒙特卡洛模拟方法进行求解。不过，问题三具有显著的特征，即决策路径数量和自然状态节点大幅增加。依据问题设定的具体要求，我们共分析得到 16 个决策节点，具体分布为：零件生产阶段涉及 8 个决策节点，半成品阶段涉及 6 个决策节点，成品阶段涉及 2 个决策节点。

问题所给定情境的生产流程包含五个反馈循环机制。其中，有三个循环涉及半成品中的不合格品通过拆解流程重新转化为待检测零件；一个循环涉及成品中的不合格品通过拆解流程转化为待检测半成品；另一个循环则涉及销售至客户的产品因质量问题被退回，进而被重新归类为成品次品。这些反馈循环之间存在交互与重叠的情况，显著提高了寻求最优决策路径的计算复杂度。

鉴于问题三情境的复杂性，尤其是涉及众多随机决策事件（如产品检测与拆解），我们选择遗传算法作为求解工具。遗传算法在解空间具有高效的搜索能力，使其在处理大规模决策问题时表现出突出的优势，有助于识别出最优策略组合。

在遗传算法的实施过程中，为了确保在遗传变异过程中不会遗失所有具有优良特性的个体，我们采用了精英策略。该策略的实施，保证了在算法迭代过程中，表现最为优异的个体能够得到保留，并顺利传递至下一代，从而保障了算法在寻求最优解过程中的收敛性和优化效果。

2.4 问题四的分析

问题四要求在考虑抽样检测条件的情况下，对问题二和问题三中的决策进行重新评估和优化。这需要我们深入理解抽样检测所得的次品率的不确定性及其对生产决策的影响。首先，我们要认识到抽样检测得到的次品率具有一定的不确定性，这主要是由于样本量的限制和抽样误差的存在。根据中心极限定理，我们可以将次品率的分布近似为正态分布，其期望值 μ 为标称次品率，方差则取决于样本量和次品率的波动情况。利用 3σ 准则，我们能够确定次品率的实际波动范围。

为了确保决策的鲁棒性，也就是在不同次品率波动的情况下仍能保持较好的经济效益，我们需要对极端情况下的决策进行特别考虑。在充分考虑了次品率的可能波动后，我们需要重新评估各种决策方案，以找到在不同信度水平下能够使利润最大化的策略。