3.4 数字特征

本章系统讲解随机变量的数字特征理论，涵盖期望、方差、协方差与相关系数的核心计算与性质。以下从四个核心考点系统梳理知识体系：

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考点一：期望（数学期望）

1. 离散型随机变量的数学期望

• 一维情形：
  $$E(X)=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i$$
• 一维函数：
  $$E[g(X)]=\sum _{i=1}^{\infty }g(x_i)p_i$$
• 二维函数：
  $$E[g(X,Y)]=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }g(x_i,y_j)p_{ij}$$

2. 连续型随机变量的数学期望

• 一维情形：
  $$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$
• 一维函数：
  $$E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$$
• 二维函数：
  $$E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$$

3. 数学期望的性质

1. 常数性质：$E(C)=C$
2. 线性性：$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$
3. 独立性：若 $X\perp Y$，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$
4. 非乘积性：一般情形下 $E(XY)\ne E(X)E(Y)$

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考点二：方差

1. 方差公式

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

2. 方差性质

1. 常数方差：$D(C)=0$
2. 线性变换：$D(aX+b)=a^{2}D(X)$
3. 可加性：若 $X\perp Y$，则 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
4. 一般可加性：
   $$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\text{Cov}(X,Y)$$

3. 常见分布的期望与方差

分布类型	期望	方差
0-1分布	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$np$	$np(1-p)$
泊松分布	$\lambda$	$\lambda$
均匀分布	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
正态分布	$\mu$	${\sigma }^2$

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考点三：协方差

1. 协方差公式

$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

2. 协方差性质

1. 对称性：$\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)$
2. 自协方差：$\text{Cov}(X,X)=D(X)$
3. 线性性：$\text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y)$
4. 可加性：
   $$\text{Cov}(X_1+X_2,Y)=\text{Cov}(X_1,Y)+\text{Cov}(X_2,Y)$$
5. 独立性：若 $X\perp Y$，则 $\text{Cov}(X,Y)=0$

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考点四：相关系数

1. 相关系数定义

$${\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$

2. 相关系数性质

1. 有界性：$-1\le {\rho }_{XY}\le 1$
2. 线性相关性：
   • $|{\rho }_{XY}|=1$ 的充要条件是存在常数 $a,b$ 使得 $P\{Y=aX+b\}=1$
   • $a>0\Rightarrow {\rho }_{XY}=1$；$a<0\Rightarrow {\rho }_{XY}=-1$
3. 独立性推论：若 $X\perp Y$，则 ${\rho }_{XY}=0$（反之不成立）

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总结

本章重点掌握：

1. 期望的积分/求和本质：衡量随机变量分布的"中心位置"
2. 方差与协方差的矩阵关系：协方差矩阵是半正定矩阵
3. 相关系数的归一化特性：消除量纲影响，纯粹反映线性相关性
4. 分布特征速查：常见分布的期望方差表格需熟记

真题技巧：

• 计算复杂随机变量期望时，优先考虑分解为简单事件和
• 协方差计算中，独立条件可大幅简化运算