【几何】平面方程

平面方程

平面方程是用一个方程来表示平面，平面上的所有点代入方程，方程都成立。因为用法的不同，平面方程一般有四种表现形式。

一般式

设 $n=(A,B,C)$ 为平面的法线，$p_0(x_0,y_0,z_0)$ 、 $p(x,y,z)$ 为平面上两点。我们知道两个垂直向量的点乘为0，则平面的法线和平面上两点组成向量的点乘也为0，则 $n\ast p_{0}p=0$ , 可以得出
$$\begin{gathered} n\cdot (p-p_0)=0 \\ n\cdot p-n\cdot p_0=0 \\ 由于n和p_0已知，设常数D=-n\cdot p_0,则 \\ n\cdot p+D=0 \\ A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0 \end{gathered}$$
平面的一般式为$A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$，其中$(A,B,C)$为平面的法线，$-D$为原点$o(0,0,0)$到平面的垂直距离，$n\cdot p_0=n\cdot o{p}_0$，为$o{p}_0$在$n$方向上的投影距离。

截距式

现在已知平面的一般式为$A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$，

设$a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$, 则$A=-D/a,B=-D/b,c=-D/C$, 原式可改为
$$\begin{gathered} -\frac{D}{a}\cdot x-\frac{D}{b}\cdot y-\frac{D}{c}\cdot z+D=0 \\ -D\cdot (\frac{1}{a}\cdot x+\frac{1}{b}\cdot y+\frac{1}{c}\cdot z)+D=0 \\ \frac{1}{a}\cdot x+\frac{1}{b}\cdot y+\frac{1}{c}\cdot z=1 \end{gathered}$$
平面的截距式为$\frac{1}{a}\cdot x+\frac{1}{b}\cdot y+\frac{1}{c}\cdot z=1$，其中$a,b,c$分别为平面与xyz轴的交点。

点法式

已知平面的法线 $n$ 和平面上的两点 $p、p_0$ ,求平面的方程。和上面一般式的求取过程是一样的，只不过得到的最后的表达方式不同。
$$\begin{gathered} n\cdot (p-p_0)=0 \\ A\cdot (x-x_0)+B\cdot (y-y_0)+C\cdot (c-c_0)=0 \end{gathered}$$
平面的点法式为$A\cdot (x-x_0)+B\cdot (y-y_0)+C\cdot (c-c_0)=0$，其中$(A,B,C)$为平面的法线，$(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上的一点。

法线式

已知平面的法线和原点到平面的距离，求平面的方程。法线式和一般式几乎是一样的。

$n=(A,B,C)$ ，那么 $n$ 与xyz三个坐标轴的余弦值是多少呢？

设 $n$ 与xyz的夹角分别为$\alpha ,\beta ,\gamma$ ，则
$$\begin{gathered} \cos \alpha =(A,B,C)\cdot (1,0,0)=A \\ \cos \beta =(A,B,C)\cdot (0,1,0)=B \\ \cos \gamma =(A,B,C)\cdot (0,0,1)=C \\ 则\cos \alpha \cdot x+\cos \beta \cdot y+\cos \gamma \cdot z+D=0 \\ 设p=-D,得\cos \alpha \cdot x+\cos \beta \cdot y+\cos \gamma \cdot z=p \end{gathered}$$
平面的法线式为 $\cos \alpha \cdot x+\cos \beta \cdot y+\cos \gamma \cdot z=p$ ，其中$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 为平面的法线，$p$ 为原点离平面的垂直距离。