2025 年数维杯数学建模B题完整论文代码模型

《2025 年数维杯数学建模B题完整论文代码模型》

B题完整论文

一、赛事背景与题目总览

2025 年第十届数维杯大学生数学建模挑战赛的 B 题聚焦于“马拉松经济的高质量发展思路探索”。近年来，我国马拉松赛事如同一颗颗璀璨的星星，在城市的天空中闪耀，数量经历了“先井喷、后调整、再复苏”的奇妙旅程。2019 年达到 1828 场的峰值，虽 2020 年因疫情短暂黯淡，但 2021 年迅速恢复，2023 年和 2024 年更是热度高涨。

马拉松赛事不仅是一场体育盛宴，更是城市发展的“金色跑道”，带来了巨大的经济效益，还成为城市品牌塑造的有力武器，已然发展为融合经济、文化、社会价值的复合型公共产品。然而，要让这颗星星持续闪耀，赛事的成功举办需要气候条件、城市道路、人口规模与参赛需求等多方面协同共舞。当前，路线设计在一些细节上有所欠缺，赛事纪念品和年龄分组排名机制也有待完善。因此，构建多维度评估框架，优化赛事布局与体验，成为亟待解决的重要问题。

二、名词定义，清晰启航

在深入探索问题之前，我们先来明确一些关键的名词定义，如同为我们的建模之旅绘制精确的地图。

1. 城市承载能力：就像城市是一艘大船，承载能力就是在保证船的结构和功能正常，且船上居民生活质量不受影响的前提下，所能搭载的最大人口规模、经济活动以及资源消耗的极限值。
2. 马拉松赛事窗口期：这是适合举办马拉松赛事的黄金时段，如同一年中的花期，错过这段时间，赛事的效果可能就会大打折扣。
3. 临近路网密度：它描述的是特定区域内道路网络的密集程度，反映了道路之间以及道路与其他城市设施的紧密关系，是衡量区域交通便利性的重要指标，就像人体的血管密度，影响着城市的“血液循环”。
4. 全马、半马、健康跑：全马距离为 42.195 公里，是马拉松比赛的“标准套餐”；半马是全马的一半，21.0975 公里，适合那些想要挑战但又觉得全马稍显吃力的选手；健康跑则赛程较短，通常为 5 公里、10 公里等，更注重参与者的健康和运动乐趣，是马拉松赛事中的“轻松体验版”。

三、数据宝藏，各显神通

本次题目提供了丰富的数据附件，它们就像一个个宝藏，为我们解决问题提供了关键线索。

1. 附件 1 - 中国气象数据：包含气温、气压、露点、风向风速、云量、降水量等数据。这些数据是筛选马拉松赛事适宜气象条件的“魔法石”，通过它们构建气象适宜性指数，能精准判断不同时间段和城市的气象是否适合举办赛事。例如，过高的气温和较大的降水量，就像马拉松赛道上的“拦路虎”，会影响选手的发挥和赛事的安全性。
2. 附件 2 - 2021 - 2024 年我国主要城市逐月轨道交通客运量数据：如同城市交通的“脉搏记录器”，用于分析轨道交通客运量变化率，评估赛事期间城市的交通分流能力。马拉松赛事会吸引大量人员流动，良好的交通分流能力是赛事顺利进行的保障，就像顺畅的河道才能让船只顺利航行。
3. 附件 3 - 我国省市两级第五、六、七次人口普查数据和附件 4 - 全国人口密度分布：这两份数据如同人口的“X光片”，可计算城市人口密度与年龄结构，特别是 20 - 50 岁主力跑者的占比。人口规模和年龄结构影响着赛事的报名热度和城市的承载能力，是我们规划赛事的重要依据。
4. 附件 5 - 西安市基础数据：涵盖住宿、餐饮、景点、停车场等信息，是西安这座城市的“生活指南”。景点和住宿设施坐标集用于建立评价函数和划分服务范围，餐饮设施作为增益节点用于设计闭合回路，为我们在西安设计马拉松路线提供了丰富的素材。
5. 附件 6 - 陕西省 12.5 分辨率地形数据：是赛道坡度的“测量仪”，用于计算赛道的坡度，确保路线满足坡度≤5%的要求，保障选手在合理的坡度上奔跑。
6. 附件 7 - 2025 年西安市道路数据、附件 8 - 西安_2024 年公交站点和线路数据、附件 9 - 西安_2024 年地铁数据：这些数据组成了西安交通的“导航系统”，用于分析路网可达性和确定起、终点是否毗邻轨道交通站点，为选手的出行提供便利。
7. 附件 10 - 西安市的绿地数据：如同城市的“绿色地图”，用于量化分析赛道沿线的树荫覆盖率，为选手在高温时段提供清凉的庇护。
8. 附件 11 - 超级马拉松跑的大数据集：基于历史成绩数据预测各组别竞争激烈程度，为参赛者提供赛前模拟排名工具，就像比赛前的“热身指南”，帮助选手了解自己在比赛中的位置。
9. 附件 12 - 马拉松赛历数据：能提取同类城市赛事时间分布规律，为确定赛事窗口期和频次提供参考，避免赛事时间过于集中，如同为赛事安排了一个合理的“时间表”。
10. 附件 13 - 西安市 shp：为我们在地理空间上分析西安提供了重要支持，是我们绘制赛事地图的重要工具。

四、问题剖析，步步为营

问题 1 - 赛事宏观规划

1. 问题起源：马拉松赛事数量的起伏变化以及赛事成功举办对多因素协同匹配的高要求，促使我们思考如何科学规划赛事窗口期、规模与频次。若规划不当，气象条件不佳可能让选手在高温或暴雨中艰难前行，城市承载能力不足可能导致赛事混乱，影响赛事效果。
2. 解答思路：
   • 影响因素：气象适宜性、城市承载能力、人口规模和报名热度是四大核心影响因素。气象条件如同赛事的“天气精灵”，直接影响选手的参赛体验和赛事的安全性；城市承载能力包括交通、住宿等方面，像赛事的“后勤保障部队”，决定了赛事的规模；人口规模和报名热度反映了赛事的市场需求，是赛事能否成功举办的“市场温度计”。
   • 理论基础：气象学、人口统计学、交通规划学、数学建模和统计学等多学科知识如同我们手中的“魔法棒”，气象学筛选适宜气象条件，人口统计学分析人口规模和年龄结构，交通规划学评估城市交通承载力，数学建模构建气象适宜性指数、城市承载力指数和报名热度预测模型，统计学拟合增长模型。
   • 核心变量：气象适宜性指数 ( I_{weather} ) 、城市承载力指数、报名热度预测值、赛事热度弹性系数 ( \lambda ) 等，它们是我们解决问题的关键“密码”。
   • 约束条件：不同城市的气象条件、人口规模和交通承载力差异较大，需要动态设定阈值。例如，南方城市温度上限放宽至 25℃，旅游城市外地跑者比例阈值下调 15%，就像为不同的城市量身定制不同的“规则外衣”。
   • 模型构建：
     • 气象适宜性指数 ( I_{weather} = w_1(20 - |T - 18|) + w_2(1 - |H - 50%|) + w_3(1 - P_{rain}) ) ，其中 ( w_1 )、( w_2 )、( w_3 ) 为权重，通过熵权法等方法确定，就像给气象条件的各个因素分配不同的“魔法力量”。
     • 赛事热度弹性系数 ( \lambda = \frac{\text{近三年报名增长率}}{\text{城市GDP增长率}} ) ，反映赛事报名热度与城市经济发展的关系，是赛事与城市经济之间的“纽带”。
     • 城市分级系统根据城市类型确定气象、人口、交通的权重，如一线城市气象权重为 0.3，人口权重为 0.4，交通权重为 0.3，为不同城市制定不同的“权重策略”。
   • 模型求解：采用多级筛选模型，先进行气象窗口期初筛，再进行承载力评估，然后根据历史报名增长率进行热度修正，最终给出推荐结果，如同层层筛选，找到最合适的赛事规划方案。
3. 注意事项：
   • 数据精度：气象数据、人口数据等可能存在测量误差和统计偏差，需要进行数据清洗和验证，提高数据的准确性，就像给数据“洗澡”，让它们变得更加干净可靠。
   • 模型假设的合理性：在构建气象适宜性指数、城市承载力指数等模型时，假设要符合实际情况。例如，权重的确定要综合考虑各因素的重要性，不能随意分配“魔法力量”。
   • 计算方法的选择：在拟合增长模型、确定权重等过程中，选择合适的计算方法，如熵权法、最小二乘法等，找到最适合的“解题钥匙”。
4. 总结：首先挑选合适的数据集，包括气象、人口、交通和赛历数据。接着对数据进行预处理，构建气象适宜性指数、城市承载力指数和报名热度预测模型。最后根据多级筛选模型和动态阈值设定，分城市给出马拉松赛事窗口期、建议规模和频次，为赛事的宏观规划绘制出精确的“蓝图”。

问题 2 - 西安路线设计

1. 问题起源：现有马拉松路线设计对自然遮荫覆盖、交通拥堵压力等细节关注不足，为了提升选手体验和赛事吸引力，我们需要在西安这座充满历史文化底蕴的城市设计出更优质的马拉松路线。
2. 解答思路：
   • 子问题（1）：
     • 影响因素：景点容量、邻近路网密度、距离、住宿容量、起终点与轨道交通站点的关系。景点容量和邻近路网密度影响服务能力，如同赛事的“服务之星”；距离、住宿容量和交通条件是约束条件，是路线设计的“紧箍咒”。
     • 理论基础：地理信息系统（GIS）用于处理空间数据，像一个神奇的“空间魔法师”；图论将路线设计问题转化为整数规划问题，为我们提供了数学上的“解题秘籍”。
     • 核心变量：服务能力、景点容量、邻近路网密度、住宿容量等，是我们优化路线的关键“指标精灵”。
     • 约束条件：两地路线距离≥42km，起点 3000 米内住宿容量≥3000 人，起、终点毗邻轨道交通站点，这些条件为路线设计划定了明确的“边界线”。
     • 模型构建：
       • 构建核密度场 ( \rho(x,y) = \sum_{i = 1}^n C_i \cdot e^{-\frac{d_i2}{2\sigma^2}} ) ，反映景点和住宿设施的空间分布，就像绘制一幅详细的“设施地图”。
       • 路网可达性修正系数 ( A_j = \frac{\text{1km缓冲区内道路总长度}}{\text{标准道路密度}} ) ，修正服务能力，为服务能力加上一个“修正魔法”。
       • 目标函数为最大化服务能力 ( \text{服务能力} = \sum(\text{景点容量} \times \text{邻近路网密度}) ) ，找到最优的服务能力组合。
     • 模型求解：将问题转化为整数规划问题，使用启发式算法（如模拟退火）搜索最优起点 - 终点组合，如同在迷宫中寻找最优路径。
   • 子问题（2）：
     • 影响因素：景点、餐饮设施、坡度、补给站设置。景点为必经节点，餐饮设施为增益节点，坡度和补给站设置是约束条件，它们共同构成了路线设计的“要素拼图”。
     • 理论基础：图论将问题转化为带增益的旅行商问题（TSP），遗传算法用于求解，为我们提供了高效的“解题工具”。
     • 核心变量：增益值、节点价值，是我们追求的“宝藏指标”。
     • 约束条件：坡度≤5%，每 5km 设置补给站且需邻近餐饮设施，路线符合全马、半马、健康跑的公里数要求，为路线设计设定了严格的“规则关卡”。
     • 模型构建：
       • 节点价值矩阵确定景点和餐饮设施的基础价值和附加条件，为每个节点赋予独特的“价值标签”。
       • 目标函数为最大化增益值，找到能获得最大增益的路线。
     • 模型求解：使用自适应遗传算法，动态变异率 ( p_m = 0.3 - 0.25 \times \frac{g}{G_{max}} ) ，并采用精英保留策略，让算法在进化中不断优化。
3. 注意事项：
   • 空间分析的准确性：使用 GIS 工具处理坐标数据时，要确保数据的精度和投影的一致性，就像搭建一座高楼，基础要稳固。
   • 复杂约束下的求解效率：整数规划和带增益的 TSP 问题求解难度较大，选择合适的算法和参数，提高求解效率，找到最适合的“解题加速器”。
   • 地形数据的精度：地形数据的精度会影响坡度的计算，进而影响路线设计，需要进行插值等处理提高精度，为坡度计算加上“精确滤镜”。
4. 总结：子问题（1）基于西安市基础数据建立评价函数和划分服务范围，构建目标优化模型，使用启发式算法筛选最优起点 - 终点组合；子问题（2）将问题转化为带增益的 TSP 问题，使用自适应遗传算法设计符合要求的闭合回路，为西安打造出独特的马拉松路线“画卷”。

问题 3 - 赛道优化升级

1. 问题起源：为了提升选手舒适度和赛事专业性，现有路线设计对树荫覆盖和交通影响关注不足，我们需要对赛道进行优化，让选手在比赛中既能享受舒适的环境，又不影响城市的正常运行。
2. 解答思路：
   • 影响因素：树荫覆盖率、交通影响、赛道坡度。树荫覆盖率影响选手在高温时段的体验，像一把“遮阳伞”；交通影响关系到城市的正常运行，如同城市的“交通指挥棒”；赛道坡度影响选手的体力消耗，是选手的“体力挑战因子”。
   • 理论基础：气象学、生态学、交通工程学、多目标优化算法和统计学。气象学结合气象数据优化路线走向，生态学量化树荫覆盖率，交通工程学评估交通影响，多目标优化算法平衡各因素，统计学计算坡度均匀性，多学科协同作战，为赛道优化提供全面支持。
   • 核心变量：树荫连贯性、交通干扰指数、坡度变异系数，是衡量赛道优化效果的“关键指标”。
   • 约束条件：在问题 2 设计的路线基础上进行优化，同时要考虑多目标之间的平衡，如同在多个目标之间走钢丝，需要找到微妙的平衡。
   • 模型构建：
     • 树荫动态建模：通过太阳轨迹分析 ( \alpha_s = \arcsin(\sin \phi \sin \delta + \cos \phi \cos \delta \cos H) ) 和阴影投影计算 ( L_{shadow} = H_{tree} \times \cot \alpha_s ) 量化树荫覆盖率，为树荫覆盖率计算出精确的数值。
     • 多目标模型：以最小化交通影响、最大化树荫覆盖和最小化坡度波动为目标函数，追求多目标的最优解。
   • 模型求解：使用 NSGA - II 算法生成 Pareto 前沿，再用 TOPSIS 法评估候选方案，输出若干路线方案及量化评分，如同在众多方案中挑选出最优秀的“选手”。
3. 注意事项：
   • 气象数据的时效性和准确性：气象数据会影响树荫覆盖率的计算和路线走向的优化，要确保数据的时效性和准确性，为模型提供可靠的“天气情报”。
   • 多目标权重的分配：使用 AHP 或熵权法等方法合理分配多目标的权重，平衡各因素的重要性，给每个目标分配合适的“权重砝码”。
   • 交通拥堵情况的预测：交通拥堵情况的预测可能存在误差，影响交通影响的评估，需要结合历史数据和实时数据进行预测，提高预测的准确性。
4. 总结：量化分析赛道沿线的树荫覆盖率、交通影响和坡度均匀性等指标，构建多目标模型，使用 NSGA - II 算法生成 Pareto 前沿，用 TOPSIS 法评估候选方案，输出优化后的路线方案及量化评分，为选手打造更优质的赛道“体验之旅”。

问题 4 - 赛事周边优化

1. 问题起源：当前马拉松赛事纪念品缺乏收藏价值和年龄分组规则不完善，为了增强赛事粘性和品牌传播度，我们需要在赛事周边产品和分组规则上进行创新和优化。
2. 解答思路：
   • 影响因素：赛事主题、文化元素、成绩排名、历史成绩数据。赛事主题和文化元素是纪念品设计的“灵感源泉”，成绩排名和历史成绩数据用于设置兑换权益和优化分组规则，是赛事激励机制的“重要依据”。
   • 理论基础：文化学、市场营销学、统计学和机器学习。文化学挖掘赛事主题和城市文化元素，市场营销学设计纪念品和设置兑换权益，统计学计算组内竞争指数，机器学习（如 KNN 算法）预测成绩分位点，多学科融合，为赛事周边优化提供全面指导。
   • 核心变量：纪念品收藏价值、兑换权益、组内竞争指数，是衡量赛事周边优化效果的“关键指标”。
   • 约束条件：纪念品的收藏价值和商业价值需要平衡，年龄分组规则要考虑不同年龄组的参赛需求和竞争公平性，如同在两个目标之间找到平衡的“跷跷板”。
   • 模型构建：
     • 三维设计矩阵从文化载体、科技形式、稀缺性三个维度设计纪念品，为纪念品设计提供全面的“设计框架”。
     • 权益兑换函数根据成绩排名梯度设置兑换权益，为选手提供不同层次的“奖励礼包”。
     • 竞争烈度预测模型使用核密度估计 ( f(x) = \frac{1}{nh}\sum_{i = 1}^n K(\frac{x - x_i}{h}) ) 计算组内竞争指数，评估每个年龄组的竞争激烈程度。
     • 分组优化目标为 ( \min \sum_{k = 1}^K \left| \int_{a_k}^{b_k} f(x)dx - \frac{1}{K} \right| ) ，使各年龄组的竞争程度尽量均衡，打造公平竞争的环境。
   • 模型求解：使用 KNN 算法为参赛者提供赛前模拟排名工具，帮助选手提前了解自己在比赛中的位置。
3. 注意事项：
   • 文化元素与商业价值的平衡：在纪念品设计中，要充分挖掘文化元素，同时考虑成本和市场需求，平衡收藏价值和商业价值，让纪念品既具有文化内涵又有市场吸引力。
   • 历史成绩数据的代表性：历史成绩数据的代表性会影响组内竞争指数的计算和赛前模拟排名的准确性，要确保数据的质量和数量，为模型提供可靠的“数据基石”。
   • 参赛者的接受程度：纪念品设计和分组规则要考虑参赛者的接受程度，进行市场调研和反馈收集，以参赛者的需求为导向进行优化。
4. 总结：基于西安文化元素设计具有收藏价值的限定纪念品，设置差异化兑换权益；按 5 岁间隔进行年龄分组，基于历史成绩数据计算组内竞争指数，使用 KNN 算法为参赛者提供赛前模拟排名工具，为赛事增添更多的魅力和吸引力。

五、整体逻辑，一脉相承

问题 1 是宏观层面的规划，为后续问题提供了时空约束。确定了合适的赛事窗口期和规模后，才能在特定的时间和城市范围内进行具体的路线设计（问题 2）。问题 2 是中观层面的路线设计，子问题（1）筛选出的最优起点 - 终点组合和子问题（2）设计的闭合回路为问题 3 的赛道优化提供了基础路线。问题 3 在问题 2 的基础上，进一步考虑树荫覆盖、交通影响、赛道坡度等因素，对路线进行微观层面的优化。问题 4 与前三题的物理规划形成“硬件 - 软件”互补。问题 4 中设计的纪念品和优化的分组规则可以提升参赛者的参与感和荣誉感，促进马拉松赛事的可持续发展。同时，纪念品设计可以结合前三题中路线设计所涉及的城市特色元素，分组规则也可以根据不同规模和路线的赛事进行调整。此外，问题 4 中对报名人数的预测还可以反馈到问题 1 中，调整赛事的规模和频次。四个问题相互关联，共同构建起一个完整的马拉松赛事优化体系，为马拉松经济的高质量发展提供全面的解决方案。