初等数论 课堂笔记 第三章 -- 欧拉函数一节的若干练习

1. 计算$\phi \left(60\right)$。
   解
     将$60$写成标准分解式
   $$60=2^2\times 3\times 5$$

   1. 法一（计算过程中出现分式）
      $$\phi \left(60\right)=60\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=60\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=16$$
   2. 法二（计算过程中不出现分式）
      $$\phi \left(60\right)=\phi \left(2^2\right)\phi \left(3\right)\phi \left(5\right)=\left(2^2-2\right)\left(3-1\right)\left(5-1\right)=2\times 2\times 4=16$$
      
      

2. 设$n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$，$\phi \left(n\right)=8$，求$n$。
   解
     设$n$的标准分解式为
   $$n={p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k}$$
   则有
   $$\begin{array}{rl}& \phi \left(n\right)=\left[{p_1}^{e_1-1}\left(p_1-1\right)\right]\cdots \left[{p_k}^{e_k-1}\left(p_k-1\right)\right]=8\\ & \Rightarrow \left(p_i-1\right)|8\Rightarrow p_i-1\le 8,p_i\le 9\\ & \Rightarrow p_i\in \left\{2,3,5,7\right\}\\ & \Rightarrow p_i-1\in \left\{1,2,4,6\right\}\end{array}$$
   由于$6|8$，因此有$p_i-1\ne 6\Rightarrow p_i\ne 7$。因此设$n=2^a{3}^b{5}^c$，$a,b,c\ge 0$。
   若$b\ge 2,3|3^{b-1}|\phi \left(3^b\right)|8$，矛盾，于是有$b\in \left\{0,1\right\}$
   若$c\ge 2$，$5|5^{c-1}|\phi \left(5^c\right)|8$，矛盾，于是有$c\in \left\{0,1\right\}$
   进行分类讨论如下。

   1. 若$b=c=0$
      1. 当$a=0$时，$n=1$
         $$\phi \left(n\right)=\phi \left(1\right)=1\ne 8$$
      2. 当$a\ne 0$时，$n=2^a$
         $$\phi \left(n\right)=2^{a-1}\left(2-1\right)=2^{a-1}=8\Rightarrow a-1=3\Rightarrow a=4\Rightarrow n=2^4=16$$
   2. 若$b=0,c=1$
      1. 当$a=0$时，有$n=5$
         $$\phi \left(n\right)=\phi \left(5\right)=4$$
      2. 当$a\ne 0$时，则有$n=2^a\times 5$
         $$\phi \left(n\right)=2^{a-1}\left(2-1\right)\left(5-1\right)=2^{a+1}=8\Rightarrow a+1=3\Rightarrow a=2\Rightarrow n=2^2\cdot 5=20$$
   3. 若$b=1,c=0$
      1. 当$a=0$时，有$n=3$
         $$\phi \left(n\right)=\phi \left(3\right)=2$$
      2. 当$a\ne 0$时，则有$n=2^a\times 3$
         $$\phi \left(n\right)=2^{a-1}\left(2-1\right)\left(3-1\right)=2^a=$$