矩阵平衡（Matrix Balancing）

矩阵平衡（Matrix Balancing）是一种通过相似变换改善矩阵条件数的技术，旨在加速迭代求解的收敛并提高数值稳定性。以下是关键算法实现及步骤详解：

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1. 对角缩放法（Diagonal Scaling）

核心思想：通过左乘和右乘对角矩阵 ( D ) 和 ( D^{-1} ) 对矩阵 ( A ) 进行平衡，使得变换后矩阵 ( B = DAD^{-1} ) 的行和列范数接近。

算法步骤：

1. 计算缩放因子：
   • 对每行 ( i )，计算 ( d_i = \sqrt{|A_{i,:}|1 / |A{:,i}|_1} )（即行和与列和的几何平均）。
2. 构造对角矩阵：
   • ( D = \text{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) )。
3. 应用变换：
   • 平衡后的矩阵 ( B = DAD^{-1} )。

特点：

• 保持对称性（若 ( A ) 对称，( B ) 仍对称）。
• 适用于非对称矩阵，显著降低条件数。

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2. Sinkhorn-Knopp 算法

目标：使矩阵的双随机性（行和与列和均为1）最大化，适用于非负矩阵。

迭代步骤：

1. 交替缩放行和列：
   • 行缩放：( A_{ij} \leftarrow A_{ij} / \sum_k A_{ik} )（使每行和为1）。
   • 列缩放：( A_{ij} \leftarrow A_{ij} / \sum_k A_{kj} )（使每列和为1）。
2. 重复直至收敛（行和列和接近1）。

应用场景：

• 概率转移矩阵、图像处理中的归一化。

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3. Parlett-Reinsch 算法（对称矩阵平衡）

步骤：

1. 计算对称矩阵 ( A ) 的按行/列无穷范数。
2. 通过对角变换 ( DAD^{-1} ) 使行列范数均衡。

优势：

• 保持特征值不变，优化条件数 ( \kappa_2(A) )。

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4. 分块平衡（Block Balancing）

适用场景：大型稀疏矩阵或分块矩阵。
方法：

• 对每个对角块独立应用对角缩放，全局协调缩放因子。

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5. 基于特征值的平衡（LAPACK 实现）

LAPACK 例程：xGEBAL（如 DGEBAL for double precision）
步骤：

1. 计算行列缩放因子，避免溢出。
2. 可选左/右缩放或同时缩放。
3. 通过置换进一步优化数值稳定性。

输出：

• 缩放后的矩阵 ( B ) 和缩放因子 ( D )，可用于后续求解（如 xGESV）。

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效果评估

• 条件数改善：平衡后 ( \kappa(B) \ll \kappa(A) )。
• 加速迭代法：如共轭梯度法（CG）、GMRES 的收敛步数减少。
• 数值稳定性：避免病态矩阵导致的浮点误差放大。

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代码示例（Python）

import numpy as np
from scipy.linalg import balance

# 生成病态矩阵
A = np.array([[1e6, 1], [1, 1e-6]])

# 平衡矩阵
B, D = balance(A, scale=True)  # D 为对角缩放矩阵

print("原矩阵条件数:", np.linalg.cond(A))
print("平衡后条件数:", np.linalg.cond(B))

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总结

• 密集矩阵：优先使用 LAPACK 的 xGEBAL。
• 非负矩阵：Sinkhorn-Knopp 适合双随机化。
• 对称矩阵：Parlett-Reinsch 算法保持结构。
• 稀疏矩阵：分块平衡或迭代缩放。

平衡技术虽增加预处理开销，但能显著提升求解效率，尤其适合病态系统的迭代法和直接法（如 LU 分解）。