信号处理基础：信号的时域和频域分析_（9）.傅里叶变换

傅里叶变换

引言

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。通过傅里叶变换，可以将复杂的时域信号分解为一系列简单的基本频率分量，这对于信号的分析、处理和设计具有重要意义。傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用，包括滤波、频谱分析、通信系统设计等。

傅里叶级数

连续时间傅里叶级数 (CTFS)

连续时间傅里叶级数（Continuous-Time Fourier Series, CTFS）是一种将周期性连续时间信号表示为一组正弦和余弦函数的方法。对于一个周期为 $T$ 的连续时间信号 $x(t)$，其傅里叶级数表示为：

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{j\frac{2\pi k}{T}t}$$

其中， $c_k$ 是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：

$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)e^{-j\frac{2\pi k}{T}t}dt$$

离散时间傅里叶级数 (DTFS)

离散时间傅里叶级数（Discrete-Time Fourier Series, DTFS）是将周期性离散时间信号表示为一组复指数函数的方法。对于一个周期为 $N$ 的离散时间信号 $x[n]$，其傅里叶级数表示为：

$$x[n]=\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{e}^{j\frac{2\pi k}{N}n}$$

其中， $c_k$ 是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：

$$c_k=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi k}{N}n}$$

傅里叶级数的性质

1. 线性性：傅里叶级数是线性的，即两个信号的傅里叶级数的和等于各自傅里叶级数的和。
2. 时移性质：如果信号 $x(t)$ 的傅里叶级数为 $c_k$，则信号 $x(t-\tau )$ 的傅里叶级数为 $c_k{e}^{-j\frac{2\pi k}{T}\tau }$。
3. 频移性质：如果信号 $x(t)$ 的傅里叶级数为 $c_k$，则信号 $e^{j{\omega }_{0}t}x(t)$ 的傅里叶级数为 $c_k{e}^{j{\omega }_0\frac{k}{N}T}$。
4. 奇偶性质：如果信号 $x(t)$ 是偶函数，则傅里叶级数中的 $c_k$ 为实数；如果信号 $x(t)$ 是奇函数，则傅里叶级数中的 $c_k$ 为纯虚数。

例子

假设有一个周期为 $T=2\pi$ 的连续时间信号 $x(t)=\sin (t)+\cos (2t)$，我们可以通过计算其傅里叶系数来表示该信号。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义信号
T = 2 * np.pi
t = np.linspace(0, T, 1000)
x = np.sin(t) + np.cos(2 * t)

# 计算傅里叶系数
def compute_fourier_coefficients(x, T, N=100):
    c = []
    for k in range(-N, N+1):
        c_k = (1 / T) * np.trapz(x * np.exp(-1j * k * t), t)
        c.append(c_k)
    return np.array(c)

# 计算傅里叶系数
N = 10
c = compute_fourier_coefficients(x, T, N)

# 绘制傅里叶系数
k = np.arange(-N, N+1)
plt.stem(k, np.abs(c))
plt.xlabel('傅里叶系数索引 k')
plt.ylabel('幅度 |c_k|')
plt.title('傅里叶系数的幅度')
plt.grid(True)
plt.show()

傅里叶变换

连续时间傅里叶变换 (CTFT)

连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform, CTFT）是一种将非周期性连续时间信号表示为频率域函数的方法。对于一个连续时间信号 $x(t)$，其傅里叶变换 $X(j\omega )$ 定义为：

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$

相应的逆变换为：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

离散时间傅里叶变换 (DTFT)

离散时间傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）是将非周期性离散时间信号表示为频率域函数的方法。对于一个离散时间信号 $x[n]$，其傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 定义为：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$

相应的逆变换为：

$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$

快速傅里叶变换 (FFT)

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的算法，用于计算离散时间信号的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）。FFT算法通过分治策略将DFT的计算复杂度从 $O(N^2)$ 降低到 $O(N\log N)$。

对于一个离散时间信号 $x[n]$，其DFT定义为：

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi k}{N}n}$$

傅里叶变换的性质

1. 线性性：傅里叶变换是线性的，即两个信号的傅里叶变换的和等于各自傅里叶变换的和。
2. 时移性质：如果信号 $x(t)$ 的傅里叶变换为 $X(j\omega )$，则信号 $x(t-\tau )$ 的傅里叶变换为 $X(j\omega )e^{-j\omega \tau }$。
3. 频移性质：如果信号 $x(t)$ 的傅里叶变换为 $X(j\omega )$，则信号 $e^{j{\omega }_{0}t}x(t)$ 的傅里叶变换为 $X(j(\omega -{\omega }_0))$。
4. 卷积定理：如果信号 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的傅里叶变换分别为 $X(j\omega )$ 和 $Y(j\omega )$，则 $x(t)\ast y(t)$ 的傅里叶变换为 $X(j\omega )Y(j\omega )$。
5. 对称性：如果信号 $x(t)$ 是实数信号，则 $X(j\omega )$ 是共轭对称的，即 $X(-j\omega )=X^{\ast }(j\omega )$。

例子

假设有一个离散时间信号 $x[n]=\cos (0.1\pi n)+\sin (0.2\pi n)$，我们可以通过计算其DFT来分析其频率成分。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义信号
N = 100
n = np.arange(N)
x = np.cos(0.1 * np.pi * n) + np.sin(0.2 * np.pi * n)

# 计算DFT
X = np.fft.fft(x)

# 绘制DFT的幅度谱
k = np.arange(N)
plt.stem(k, np.abs(X))
plt.xlabel('频率索引 k')
plt.ylabel('幅度 |X[k]|')
plt.title('离散傅里叶变换的幅度谱')
plt.grid(True)
plt.show()

傅里叶变换的应用

频谱分析

频谱分析是傅里叶变换的一个重要应用，通过将信号从时域转换到频域，可以清晰地看到信号的频率组成。频谱分析在通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

滤波

傅里叶变换可以用于设计和实现滤波器。通过在频域中对信号进行处理，可以有效地滤除不需要的频率成分。例如，低通滤波器可以在频域中将高频成分置为零。

通信系统设计

在通信系统中，傅里叶变换用于分析信号的频谱特性，设计调制和解调方案，以及优化传输信道。通过频域分析，可以更好地理解信号的传输特性，从而设计出更高效的通信系统。

例子

假设有一个包含噪声的信号 $x[n]=\cos (0.1\pi n)+0.5\sin (0.3\pi n)+\text{noise}$，我们可以通过频谱分析和滤波来去除噪声。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义信号和噪声
N = 100
n = np.arange(N)
x = np.cos(0.1 * np.pi * n) + 0.5 * np.sin(0.3 * np.pi * n) + 0.1 * np.random.randn(N)

# 计算DFT
X = np.fft.fft(x)

# 绘制原始信号的频谱
k = np.arange(N)
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.stem(k, np.abs(X))
plt.xlabel('频率索引 k')
plt.ylabel('幅度 |X[k]|')
plt.title('原始信号的频谱')
plt.grid(True)

# 设计低通滤波器
def low_pass_filter(X, cutoff):
    Y = X.copy()
    Y[cutoff:N-cutoff+1] = 0
    return Y

# 应用低通滤波器
cutoff = 10
Y = low_pass_filter(X, cutoff)

# 计算逆DFT
y = np.fft.ifft(Y)

# 绘制滤波后的信号的频谱
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.stem(k, np.abs(Y))
plt.xlabel('频率索引 k')
plt.ylabel('幅度 |Y[k]|')
plt.title('滤波后的信号的频谱')
plt.grid(True)
plt.show()

# 绘制时域信号
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(n, x)
plt.xlabel('时间索引 n')
plt.ylabel('幅度 x[n]')
plt.title('原始信号')
plt.grid(True)

# 绘制滤波后的时域信号
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(n, np.real(y))
plt.xlabel('时间索引 n')
plt.ylabel('幅度 y[n]')
plt.title('滤波后的信号')
plt.grid(True)
plt.show()

傅里叶变换的局限性

傅里叶变换假设信号是无限长且周期性的，这在实际应用中可能不成立。对于有限长度的信号，傅里叶变换可能会引入频谱泄漏等问题。此外，傅里叶变换在时域和频域之间具有固定的分辨率，对于非平稳信号的分析可能不够准确。

结论

傅里叶变换是信号处理中一个强大的工具，可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解信号的频率组成。通过频谱分析、滤波和通信系统设计等应用，傅里叶变换在电气工程及其自动化领域发挥着重要作用。然而，傅里叶变换也有其局限性，需要在实际应用中加以考虑和处理。