传感器——针孔相机模型

主要内容

针孔相机模型的建模及分析过程

针孔相机

推导过程：

对于现实中某个点P（x,y,z)，由相似三角形有：
$$\frac{z}{f}=\frac{x}{x^{{}^{\prime }}}=\frac{y}{y^{{}^{\prime }}}$$
即：
$$\{\begin{array}{r}{x}^{{}^{\prime }}=\frac{x}{z}f\\ y^{{}^{\prime }}=\frac{y}{z}f\end{array}$$
而像素坐标（u,v）通常经过一个平移$(c_x,c_y)$和缩放α，β（x和y轴上的缩放比例）
$$\{\begin{array}{rl}u& =\alpha x^{{}^{\prime }}+c_x\\ v& =\beta y^{{}^{\prime }}+c_y\end{array}$$
把$x^{{}^{\prime }}和y^{{}^{\prime }}代入得$
z [ u v 1 ] = K ⋅ R ⋅ X + t = K ⋅ P z \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \cdot R \cdot X + t=K \cdot P z ​uv1​ ​=K⋅R⋅X+t=K⋅P
K = [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} K= ​fx​00​0fy​0​cx​cy​1​ ​
其中$f_x=\alpha f,f_y=\beta f$
总结:
针孔相机模型是一种描述相机成像原理的数学模型，模拟了相机将三维世界中的物体投影到二维图像平面上的过程。以下是该模型的逐步解释：

1. 基本原理：

   • 相机通过一个“针孔”（小孔）接收光线，并在后方固定位置(成像平面)形成一个图像。
   • 这个过程类似于光学成像，三维空间中的点被映射到二维图像平面上。

2. 数学描述：

   • 使用齐次坐标表示点的位置和变换，将三维点投影到二维图像。
   • 基本公式为：
     z [ u v 1 ] = K ⋅ R ⋅ X + t = K ⋅ P z \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \cdot R \cdot X + t=K \cdot P z ​uv1​ ​=K⋅R⋅X+t=K⋅P
     其中，X 是三维空间点，K 是内参数矩阵，R 和 t 分别是相机的旋转和平移参数。等效的矩阵P是外参矩阵。

3. 内参数矩阵 (K)：

   • 包含相机的焦距、图像中心坐标等内参数。内参由相机性质决定，对于同一相机，内参数矩阵是相同的。因此基本为已知参数。
   • 形式为：
     K = [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} K= ​fx​00​0fy​0​cx​cy​1​ ​
     其中，$f_x,f_y$ 是焦距在成像平面上的缩放后的“像素焦距”，($c_x,c_y$) 是成像平面相对于摄像机小孔的原点坐标。

4. 外参数矩阵 ( P )：

   • R 表示相机的姿态（旋转），t 表示相机的位置。
   • 经过齐次变换，RX+t可以等效成外参数矩阵P。
   • 描述了相机在三维空间中的方位和位置。

5. 投影过程：

   • 三维点 X 经过内参数矩阵 K 和外参数矩阵 (R, t) 的变换后，得到二维图像坐标 (x’, y’)。
   • 这一过程模拟了相机将物体成像到图像平面的过程。

6. 应用与局限性：

   • 在计算机视觉中，针孔相机模型是三维重建和图像合成的基础。
   • 由于实际相机存在透镜等复杂因素，模型有一定的简化假设，无法完美描述所有成像过程。