[HDU 4549] M斐波那契数列

M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：
F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )
现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

0 1 0 6 10 2

 

Sample Output

0 60

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

 

详解：

F(n)=F(n-1)*F(n-2)
F(1)=a;
F(2)=b;
F(3)=a^1*b^1
F(4)=a^1*b^2
F(5)=a^2*b^3
F(6)=a^3*b^5
F(n)=a^f(n'-1)*b^f(n'), f(n')为斐波拉契数列

这样就可以先算出F(n)对应f(n')、f(n'-1),再二分快速幂，F(n)=a^f(n'-1)%MOD*b^f(n')%MOD
另外由于n比较大且MOD为质数，则根据费马小定理得：F(n)=a^(f(n'-1)%(MOD-1)%MOD) * b^(f(n')%(MOD-1))%MOD
注意这里n'和n不一样，当n为3时，f(n')=1,不妨让n'=n-2...

#include <iostream>

#include <cstdio>

using namespace std;

#define MOD 1000000007

#define ll __int64

#define N 2



ll quickadd(ll a,ll b)           //矩阵快速加，防溢出，其实可以不用这个

{

    ll ret=0;

    while(b)

    {

        if(b&1)

        {

            ret+=a; 

            if(ret>=MOD) ret-=MOD;

        }

        a<<=1;

        if(a>=MOD) a-=MOD;

        b>>=1;

    }

    return ret;

}

ll quickpow(ll a,ll b)           //矩阵快速幂

{

    ll ret=1;

    while(b)

    {

        if (b&1) ret=quickadd(a,ret);

        a=quickadd(a,a);

        b>>=1;

    }

    return ret;

}

void mul(ll a[N][N],ll b[N][N])  //矩阵相乘

{

    ll i,j,k;

    ll c[N][N]={0};

    for(i=0;i<N;i++)

    {

        for(j=0;j<N;j++)

        {

            for(k=0;k<N;k++)

            {

                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%(MOD-1);

            }

        }

    }

    for(i=0;i<N;i++)

    {

        for(j=0;j<N;j++)

        {

            a[i][j]=c[i][j];

        }

    }

}

int  main()

{

    ll A,B,n;

    while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&A,&B,&n)!=EOF)

    {

        if(n==0) printf("%I64d\n",A%MOD);

        else if(n==1) printf("%I64d\n",B%MOD);  //特判0,1

        else

        {

            n-=2;

            ll a[N][N]={1,1},b[N][N]={0,1,1,1};

            while(n)

            {

                if(n&1)mul(a,b);

                mul(b,b);

                n>>=1;

            }

            ll k1=a[0][0];

            ll k2=a[0][1];

            ll ans=1;

            ans=ans*quickpow(A,k1)%MOD;

            ans=ans*quickpow(B,k2)%MOD;

            printf("%I64d\n",ans);

        }

    }

    return 0;

}