线性代数导论1——方程组的几何解释

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

第一课时：方程组的几何解释

 

一、线性方程组的两种理解方式：行图像和列图像

对于方程组：

我们可以表示成矩阵形式：

 

系数矩阵 A，未知数向量 x，右侧向量为 b，则可写成  Ax= b

1）行图像的理解方式：试图将每一个完整方程所表示的图像表示出来。

交点即方程的解为（1,2）。

2）列图像的理解方式：关注矩阵的列所表示的向量，把两个方程组放在一起考虑：

这样做的目的是找到两个列向量的正确的线性组合为右侧向量 ，现在需要求x,y这两个数值，来制造向量(0,3)，其几何形式，图像如下

选取所有的x和y，即所有的线性组合即为整个坐标平面。可以求出右侧任意的b向量。

 

考虑扩展至三维空间，

在行图像中，一个含有3个未知数的方程组在三维空间中确定一个平面，两个方程组确定一条直线，三个方程组确定一个点，这个点就是方程组的解，当然前提是这三个方程组所确定的平面两两不平行。在列图像中，可类似二维中作出三个列向量的几何图像并求得线性组合。

扩展至n维，可以此类推。

 

二、方程组解的情况

对于上面3维空间的例子，
保证左侧矩阵不变，然后考虑所有右侧向量，任意b，是否每个b都有对应解？

换种说法：列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？

非奇异矩阵，可逆矩阵可以做到。

如果是奇异矩阵，即不可逆矩阵，在行图像中看即至少有两个方程组所表示的平面是平行的，在列图像中看即至少有两个列向量是指向同一方向的（即不相互独立，相当于同一个向量），此时，只有b处在这个向量和另一个非共线向量所表示的平面内时，方程组才有解。

 

三、矩阵与向量相乘的方法

1）将矩阵A与向量x的相乘，看着A各列的线性组合，这是极力推荐的。

矩阵乘以右侧列向量可看成矩阵各列向量的线性组合，结果为列向量

左侧行向量乘以矩阵可看成矩阵各行向量的线性组合，结果为行向量

2）原始点乘方式。