通俗易懂的L0范数和L1范数及其Python实现

定义

L0 范数（L0-Norm）

L0 范数并不是真正意义上的一个范数，因为它不满足范数的三角不等式性质，但它在数学优化和信号处理等领域有着实际的应用。L0 范数指的是向量中非零元素的个数。它通常用来度量向量的稀疏性。数学上表示为：

[ |x|_0 = \text{number of non-zero elements in } x ]

例如，向量 (x = [1, 0, 2, 0, 3]) 的 L0 范数是 3，因为该向量中有三个非零元素。

L1 范数（L1-Norm）

L1 范数也被称作曼哈顿距离或者稀疏规则算子（lasso regularization）。它是向量中所有元素的绝对值之和。L1 范数会偏向产生少量的特征，而其他的特征都是0，能够用于特征选择，常用于稀疏编码、压缩感知等领域。数学上表示为：

[ |x|1 = \sum{i=1}^{n} |x_i| ]

例如，向量 (x = [1, -2, 3]) 的 L1 范数就是 (|1| + |-2| + |3| = 6)，即向量中各元素绝对值之和。

Python 示例

我们现在使用 Python 来计算一个向量的 L0 范数和 L1 范数。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Feb 19 21:55:07 2024

@author: 李立宗

公众号：计算机视觉之光

知识星球：计算机视觉之光

"""

import numpy as np

# 定义一个向量
x = np.array([1, -2, 0, 3])

# 计算 L0 范数（非零元素的个数）
l0_norm = np.count_nonzero(x)

# 计算 L1 范数（元素绝对值的和）
l1_norm = np.sum(np.abs(x))

print("L0 范数:", l0_norm)
print("L1 范数:", l1_norm)

这段代码首先导入了 NumPy 库，并定义了一个向量 x。然后，它使用 np.count_nonzero 函数来计算非零元素的个数，即 L0 范数。接着，该代码使用 np.sum 函数和 np.abs 函数来计算所有元素的绝对值之和，即 L1 范数。最后，两个范数的结果被打印出来。

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