1.1 定义与证明
1.2 几何意义
2.1 定义与证明
定义
证明:
作 辅 助 线 L A B : y − f ( a ) = f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) 即 y = f ( a ) + f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) 令 g ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) 则 g ( a ) = 0 = g ( b ) 根 据 罗 尔 定 理 , 存 在 δ , 使 得 g ′ ( δ ) = 0 即 f ′ ( δ ) − f ( b ) − f ( a ) b − a = 0 故 f ′ ( δ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a \begin{aligned} & 作辅助线 L_{AB}:y-f(a) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \\ & 即 \ y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\\ & 令 \ g(x) = f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \\ & 则 \ g(a) = 0 = g(b) \\ & 根据罗尔定理,存在 \delta,使得g'(\delta) = 0 \\ & 即 \ f'(\delta) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \\ &故 \ f'(\delta) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned} 作辅助线LAB:y−f(a)=b−af(b)−f(a)(x−a)即 y=f(a)+b−af(b)−f(a)(x−a)令 g(x)=f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a)则 g(a)=0=g(b)根据罗尔定理,存在δ,使得g′(δ)=0即 f′(δ)−b−af(b)−f(a)=0故 f′(δ)=b−af(b)−f(a)
其他变形
可以看出罗尔定理是拉格朗日定理的特殊形式 f(b)=f(a)时候分子为0
个人理解的另一种看法:虽然f(a)!=f(b),但是可以通过坐标转换使得f(a)=f(b),这样就又变为了罗尔定理了。
2.2 几何意义
3.1 定义与证明
定义
g’(x)!=0保证了g(b)-g(a)!=0,从而保证了分子!=0
证明
作辅助函数类似证拉格朗日
可以看出当g(x)=x时候,为拉格朗日中值定理
3.2 几何意义
曲线上存在一点其切线平行于由两点 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所连接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下这种切线都存在,因为可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0
也称泰勒定理
4.1 定义
两种余项表达方式
皮亚诺型
拉格朗日型
推广
当f在a处n阶可导(注意与定理为n+1阶可导),把余项改成皮亚诺型即可
4.2 麦克劳林
即当x0=0时候的泰勒展开
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ( 2 ) ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) f(x) = f(0)+f'(0)x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^{2} + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} + R_n(x) f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f(2)(0)x2+...+n!f(n)(0)xn+Rn(x)
常用公式
补充几个
记忆:
ex最简单,e0 = 1,e(n) = 1;
sin 0 = 0, sin’0 x = cos 0 x = x,再次求导变回sin 0 = 0,因此是奇数项
cos 0 = 1,cos’0 x = sin 0 x= 0,再次求导变回cos 0 = 1,因此是偶数项,和恰好相反
三角函数特点:三阶
积分第一中值定理
设f:[a,b]->R为一连续函数,g:[a,b]->R要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号,那么存在一点ε∈[a,b]使得
∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ε ) ∫ a b g ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = f(ε)\int_{a}^{b}g(x)dx ∫abf(x)g(x)dx=f(ε)∫abg(x)dx
证明
特别地,当g(x)=1时候,公式如下:
∫ a b f ( x ) d x = f ( ε ) ( b − a ) \int_{a}^{b}f(x)dx = f(ε)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ε)(b−a)
其中,a、b、ε满足:a <= ε <= b。
它也可以由拉格朗日中值定理推出:
f ( ε ) = F ′ ( ε ) = F ( b ) − F ( a ) b − a = ∫ a b f ( x ) d x b − a f(ε)=F'(ε) = \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a} f(ε)=F′(ε)=b−aF(b)−F(a)=b−a∫abf(x)dx
几何意义:
积分第二中值定理
与第一中值定理互相独立,是更加精细的积分中值定理
几何意义
应用: 去除积分号或者使得复杂被积函数化为相对简单的被积函数,简化问题。
有点像罗尔定理,罗尔定理通过限制f(a)=f(b)得出最值在[a,b]内;
此处通过一阶导数f’得出最值在(a,b)内;
若我们得知最值在(a,b)且在(a,b)内函数可导,则一样可以得出f’(δ)=0的结论
利用导数零点定理
回顾四大定理
手法:
一阶导f’=0,一次罗尔,找f(a)=f(b)
二阶导f’’=0,两次罗尔,找f(a)=f(b)=f©,f’Δ= f’δ = 0
思想:构造辅助函数使得待证式子为某函数的导数,从而使用中值定理
特征:仅有δ,差一阶,两项
f ′ f = ( ln f ) ′ f ′ ′ f ′ = ( ln f ′ ) ′ f ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t ( ln ∫ 1 x f ( t ) d t ) ′ = f ( x ) ∫ 1 x f ( t ) d t 构 造 辅 助 函 数 类 似 φ ( x ) = f ( x ) e ∫ 0 x f ( t ) d t , 则 φ ′ ( x ) = g ( x ) [ 待 证 函 数 ] , 其 中 g ( x ) ! = 0 即 [ 待 证 函 数 ] = = 0 \frac{f'}{f} = (\ln f)' \quad \frac{f''}{f'} = (\ln f')' \quad f(x) = \int^x_0f(t)dt \quad (\ln \int^x_1f(t)dt)' = \frac{f(x)}{\int^x_1f(t)dt}\\ 构造辅助函数类似 \ \varphi(x) = f(x)e^{\int^x_0f(t)dt},则 \varphi'(x) = g(x)[待证函数],其中g(x)!=0即[待证函数]==0 ff′=(lnf)′f′f′′=(lnf′)′f(x)=∫0xf(t)dt(ln∫1xf(t)dt)′=∫1xf(t)dtf(x)构造辅助函数类似 φ(x)=f(x)e∫0xf(t)dt,则φ′(x)=g(x)[待证函数],其中g(x)!=0即[待证函数]==0
具体实例:
f ( x ) ′ f ( x ) + 2 = 0 还 原 得 ( ln f ) ′ + ( 2 x ) ′ = ( ln f e 2 x ) ′ = 0 辅 助 函 数 φ ( x ) = f e 2 x , 则 φ ′ ( x ) = f ′ e 2 x + f e 2 x 2 = e 2 x ( f ′ + 2 f ) \frac{f(x)'}{f(x)} + 2 = 0 \\ 还原得 (\ln f)'+(2x)' = (\ln f e^{2x})'=0 \\ 辅助函数 \varphi(x) = fe^{2x},则 \varphi'(x)=f'e^{2x}+fe^{2x}2=e^{2x}(f'+2f) f(x)f(x)′+2=0还原得(lnf)′+(2x)′=(lnfe2x)′=0辅助函数φ(x)=fe2x,则φ′(x)=f′e2x+fe2x2=e2x(f′+2f)
特征:两边近似相同(第一个式子类似第二个式子的导数)
1. f ′ + k f = f ′ f + k = ( ln f ) ′ + ( ln e k x ) ′ = ln ( e k x f ) ′ , 辅 助 函 数 φ ( x ) = e k x f ( x ) 2. f ′ − k f = ( ln e − k x f ) ′ , 辅 助 函 数 φ ( x ) = e − k x f ( x ) 3. x f ′ + k f = x k f ′ + x k − 1 k f = x k − 1 ( x f ′ + k f ) , 辅 助 函 数 φ ( x ) = x k f ( x ) 4. f ′ ′ g 的 两 种 思 路 : ( f ′ g ) ′ = f ′ ′ g + f ′ g ′ ; ( f ′ g ) ′ = f ′ ′ g − f ′ g ′ g 2 5. f ′ ′ − f = ( f ′ ′ − f ′ ) + ( f ′ − f ) = ( f ′ − f ) ′ + ( f ′ − f ) = ( f ′ + f ) ′ − ( f ′ + f ) = g ′ ± g , 辅 助 函 数 φ ( x ) = e ± x g 6. f ′ ′ + f ′ − k = ( f ′ − k ) ′ + ( f ′ − k ) = g ′ + g , 辅 助 函 数 φ ( x ) = e x g ( x ) , 同 理 f ′ + f − k 7. f ′ − f + k x − k = ( f − k x ) ′ − ( f − k x ) = g ′ + g , 辅 助 函 数 φ ( x ) = e − x g ( x ) \begin{aligned} & 1.\ f' + kf = \frac{f'}{f} + k = (\ln f)' + (\ln e^{kx})' =\ln (e^{kx}f)',辅助函数\varphi(x)=e^{kx}f(x) \\ & 2.\ f' - kf = (\ln e^{-kx}f)',辅助函数\varphi(x)=e^{-kx}f(x) \\ & 3.\ xf' + kf = x^{k}f' + x^{k-1}kf = x^{k-1}(xf'+kf),辅助函数\varphi(x)=x^kf(x) \\ & 4.\ f''g 的两种思路:(f'g)'=f''g+f'g'; (\frac{f'}{g})' = \frac{f''g-f'g'}{g^2} \\ & 5.\ f''-f = (f''-f')+(f'-f) = (f'-f)'+(f'-f) = (f'+f)'- (f'+f) = g' \pm g,辅助函数\varphi(x)=e^{\pm x}g\\ & 6.\ f''+ f'- k = (f'-k)' + (f'-k) = g' + g,辅助函数\varphi(x)=e^{x}g(x),同理f'+f-k \\ & 7. \ f'-f + kx - k = (f-kx)' - (f-kx) = g'+g,辅助函数\varphi(x)=e^{-x}g(x) \end{aligned} 1. f′+kf=ff′+k=(lnf)′+(lnekx)′=ln(ekxf)′,辅助函数φ(x)=ekxf(x)2. f′−kf=(lne−kxf)′,辅助函数φ(x)=e−kxf(x)3. xf′+kf=xkf′+xk−1kf=xk−1(xf′+kf),辅助函数φ(x)=xkf(x)4. f′′g的两种思路:(f′g)′=f′′g+f′g′;(gf′)′=g2f′′g−f′g′5. f′′−f=(f′′−f′)+(f′−f)=(f′−f)′+(f′−f)=(f′+f)′−(f′+f)=g′±g,辅助函数φ(x)=e±xg6. f′′+f′−k=(f′−k)′+(f′−k)=g′+g,辅助函数φ(x)=exg(x),同理f′+f−k7. f′−f+kx−k=(f−kx)′−(f−kx)=g′+g,辅助函数φ(x)=e−xg(x)
总结
待证 | 转换 | 辅助函数 |
---|---|---|
f’+(-)kf | (ln(e+(-)kxf)’ | e+(-)kxf(x) |
xf’+kf | xk-1(xf’+kf) | xkf(x) |
f’’-f | (f’-f)’ + (f’-f) = (f’+f)’ - (f’+f) = g’+(-)g | e+(-)x[f’(x)-(+)f] |
f’’ +f’ - k | (f’ - k)’ + (f’-k) = g’ + g | ex[f’(x)-k] |
f’ - f +kx - k | (f-kx)’ - (f-kx) = g’ - g | e-x[f(x)-kx] |
特征:导数差两阶—无法普通还原
步骤:去分母——移项——整理成g(x)=0——构造辅助函数φ(x),使得φ’(x) = g(x)
1. f ′ ′ g − f g ′ ′ = ( f ′ g − f g ′ ) ′ , 辅 助 函 数 φ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) 2. f ′ g + g ′ f = ( f g ) ′ , 辅 助 函 数 φ ( x ) = f ( x ) g ( x ) \begin{aligned} & 1.\ f''g - fg'' = (f'g-fg')' ,辅助函数\varphi(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\\ & 2.\ f'g+g'f = (fg)',辅助函数\varphi(x) = f(x)g(x) \\ \end{aligned} 1. f′′g−fg′′=(f′g−fg′)′,辅助函数φ(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)2. f′g+g′f=(fg)′,辅助函数φ(x)=f(x)g(x)
还原法
1 x − 1 + f ( x ) ∫ 0 x f ( t ) d t = 0 [ ln ( x − 1 ) ] ′ + [ ln ∫ 0 x f ( t ) d t ] ′ = 0 φ ( x ) = ( x − 1 ) ln ∫ 0 x f ( t ) d t = x ln ∫ 0 x f ( t ) d t − ln ∫ 0 x f ( t ) d t \frac{1}{x-1} + \frac{f(x)}{\int^x_0f(t)dt} = 0 \\ [\ln(x-1)]' + \bigg[\ln \int^x_0f(t)dt \bigg]' = 0 \\ \varphi(x) = (x-1)\ln \int^x_0f(t)dt = x\ln \int^x_0f(t)dt-\ln \int^x_0f(t)dt x−11+∫0xf(t)dtf(x)=0[ln(x−1)]′+[ln∫0xf(t)dt]′=0φ(x)=(x−1)ln∫0xf(t)dt=xln∫0xf(t)dt−ln∫0xf(t)dt
拉 格 朗 日 f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( δ ) 柯 西 中 值 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( δ ) g ′ ( δ ) \begin{aligned} & 拉格朗日 \ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\delta) \\ & 柯西中值 \ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\delta)}{g'(\delta)} \\ \end{aligned} 拉格朗日 b−af(b)−f(a)=f′(δ)柯西中值 g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(δ)f′(δ)
提取复杂中项到同一个等式—还原法
根据情况选择柯西或者拉格朗日中值定理
若需使用拉格朗日,则式子可能会出现a+b,a-b,a2-b2等
对应项归结到一起,然后使用还原法
三种情形s
0 < θ < 1 拉 格 朗 日 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ ( b − a ) ) ( b − a ) 0 < θ < 1 泰 勒 公 式 f ( x ) = P n ( x ) + f ( n + 1 ) [ x 0 + θ ( x − x 0 ) ] ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) ( n + 1 ) 0 ≤ θ ≤ 1 积 分 中 值 ∫ a b f ( x ) d x = f ( δ ) ( b − a ) = f ( [ a + θ ( b − a ) ] ) ( b − a ) \begin{aligned} & 0 < \theta < 1 \quad 拉格朗日 \quad f(b) - f(a) = f'(a+\theta(b-a))(b-a) \\ & 0 < \theta < 1 \quad 泰勒公式 \quad f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}[x_0+\theta(x-x_0)]}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)} \\ & 0 \le \theta \le 1 \quad 积分中值 \quad \int ^b_af(x)dx = f(\delta)(b-a) = f([a+\theta(b-a)])(b-a) \end{aligned} 0<θ<1拉格朗日f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a)0<θ<1泰勒公式f(x)=Pn(x)+(n+1)!f(n+1)[x0+θ(x−x0)](x−x0)(n+1)0≤θ≤1积分中值∫abf(x)dx=f(δ)(b−a)=f([a+θ(b−a)])(b−a)
易错点
∣ f ′ ( x ) ∣ < M , 则 − M < f ′ ( x ) < M 若 c > 0 , 则 c M > − c f ′ ( δ ) > − c M , 若 − f ( 0 ) = c f ′ ( δ ) , 事 实 上 ∣ f ( 0 ) ∣ = c ∣ f ′ ( δ ) ∣ < c M ( c > 0 ) 易 错 点 为 − f ( 0 ) = c f ′ ( δ ) , 则 − f ( 0 ) = c f ′ ( δ ) < c M , f ( 0 ) > − c M , ∣ f ( 0 ) ∣ > c M 两 处 错 误 , 1. 不 等 式 漏 了 左 边 − c M < c f ′ ( δ ) < c M ; 2. f ( 0 ) > − c M → ∣ f ( 0 ) ∣ > 0 |f'(x)| < M,则-M