环K[x]中两个多项式在K[x]中的最大公因子多项式的定义

应该是正整数的最大公因子的推广，但难度在于多项式有很多项相加，而几个具体的系数说不清。为此我认为应该定义如下。

设 K 是一个域（field）， 多项式环 K[x] 中两个多项式 f(x)和 g(x)在K[x]中的最大公因子(f(x),g(x))是次数最高的系数都在K中的多项式公因子。

注意：用辗转相除法（不断用x的方幂做抵消降低次数），可以证明 K[x] 中的多项式(f(x),g(x))在不计常数倍数的意义下是唯一的。但若允许系数在 K 的扩域中，则两个多项式的最大公因子的次数可能更大。

所以，冯克勤著作《代数数论》（2001，科学出版社）p.2上的论断“注意域上两个多项式的最大公因子可以用辗转相除法求得，而这个过程在
K(γ)[x]中和在 C[x]中都是一样的，因此在 K(γ)[x]上也有
(h(x),g(x))=x-β(1)∈K(γ)[x]，特别地可知 β(1)∈K(γ)”是不对的，因为在 K(γ)[x]中可能(h(x),g(x))=1。

事实上，只能是 (h(x),g(x))=1，否则因为 h(x)和 g(x) 都在 K[x]中不可约（都是极小多项式），将导致 α(i) 是 β(j)的一个排列， 则显然 K(α,β)=K(α,α'),这里 α'是 α 的某个共轭，还是无法证明是单扩张。所以才有一个极小多项式的“分裂域”(splitting field)的概念。从没听说过分裂域会是单扩张域。

所以，《代数数论》（中国科学院研究生教学丛书之一）的定理1.1，即“每个数域扩张L/K均为单扩张”是没有证明的。在Zariski和Samuel的书《交换代数》（GTM28)中，对于“单扩域”只在某一页提到过一次定义。