CT重建 平行射线滤波反投影
计算机断层重建(CT)是一个比较热门的领域，这篇文章简单介绍了反投影方法的重建过程。
参考资料：冈萨雷斯，《数字图像处理》，电子工业出版社。
文章目录
- 直接反投影
- 投影与Radon变换
- 滤波反投影法(FBP)
-
- 傅里叶切片定理
- 平行射线下的滤波反投影重建
- 卷积与傅里叶反变换
直接反投影
该方法是沿着射线来的方向把一维信号反投影回去，可以想象成把投影穿过图像区域反“涂抹”回去。注意到相隔180°的投影互为镜像，因此，为了产生重建所要求的所有投影，只需要按照圆周的一半角度增量来考虑即可。下图是不同投影角度数量下直接反投影法的结果
从图中可以看到，直接反投影法有明显的伪影，也被称之为“晕环”。伪影的亮度比物体第，但比背景高。越多的投影使得伪影亮度越低，但会带来模糊。在CT重建中，去除伪影是一个重要的问题。
投影与Radon变换
Radon变换描述了投影产生时的数学过程。考虑直线 y = a x + b y=ax+b y=ax+b，将其用极坐标来表示可写为：
x cos θ + y sin θ = ρ x\cos\theta+y\sin\theta=\rho xcosθ+ysinθ=ρ
对于图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，沿该线积分为：
g ( ρ , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x cos θ + y sin θ − ρ ) d x d y g(\rho,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x\cos\theta+y\sin\theta-\rho)dxdy g(ρ,θ)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−ρ)dxdy
其中 δ \delta δ为示性函数，或者是和示性函数差不多的冲激函数。离散情况下可写为：
g ( ρ , θ ) = ∑ 0 M − 1 ∑ 0 N − 1 f ( x , y ) δ ( x cos θ + y sin θ − ρ ) g(\rho,\theta)=\sum_{0}^{M-1}\sum_{0}^{N-1}f(x,y)\delta(x\cos\theta+y\sin\theta-\rho) g(ρ,θ)=0∑M−10∑N−1f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−ρ)
进一步可以得到直接反投影的数学表示：
f ( x , y ) = ∫ 0 π g ( ρ , θ ) d θ f(x,y)=\int_0^{\pi}g(\rho,\theta)d\theta f(x,y)=∫0πg(ρ,θ)dθ
滤波反投影法(FBP)
傅里叶切片定理
关于 ρ \rho ρ投影的一维傅里叶变换为
G ( ω , θ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( ρ , θ ) e − j 2 π ω ρ d ρ G(\omega,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}g(\rho,\theta)e^{-j2\pi\omega\rho}d\rho G(ω,θ)=∫−∞∞g(ρ,θ)e−j2πωρdρ
傅里叶变换可以看成从空间域到频率域上的转换，这里 ω \omega ω为频率变量。将 g g g带入上式中可得：
G ( ω , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x cos θ + y sin θ − ρ ) e − j 2 π ω ρ d x d y d ρ = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) [ ∫ − ∞ ∞ δ ( x cos θ + y sin θ − ρ ) e − j 2 π ω ρ d ρ ] d x d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ω ( x cos θ + y sin θ ) d x d y = F ( ω cos θ , ω sin θ ) \begin{aligned} G(\omega,\theta)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x\cos\theta+y\sin\theta-\rho)e^{-j2\pi\omega\rho}dxdyd\rho \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\left[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x\cos\theta+y\sin\theta-\rho)e^{-j2\pi\omega\rho}d\rho\right]dxdy \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi\omega(x\cos\theta+y\sin\theta)}dxdy \\ &=F(\omega\cos\theta,\omega\sin\theta) \end{aligned} G(ω,θ)=∫−∞∞∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−ρ)e−j2πωρdxdydρ=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)[∫−∞∞δ(xcosθ+ysinθ−ρ)e−j2πωρdρ]dxdy=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−j2πω(xcosθ+ysinθ)dxdy=F(ωcosθ,ωsinθ)
其中 F ( u , v ) F(u,v) F(u,v)为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的二维傅里叶变换，即：
F ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy F(u,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy
这说明了，对投影 g g g的一维傅里叶变换，等于对图像 f f f二维傅里叶变换在某一条线下的切片。这就是傅里叶切片定理。
平行射线下的滤波反投影重建
傅里叶逆变换：
f ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( u , v ) e j 2 π ( u x + v y ) d u d v f(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv f(x,y)=∫−∞∞∫−∞∞F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv
令 u = ω cos θ , v = ω sin θ u=\omega\cos\theta,v=\omega\sin\theta u=ωcosθ,v=ωsinθ，则有
f ( x , y ) = ∫ 0 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω cos θ , ω sin θ ) e j 2 π ω ( x cos θ + y sin θ ) ω d ω d θ f(x,y)=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega\cos\theta,\omega\sin\theta)e^{j2\pi\omega(x\cos\theta+y\sin\theta)}\omega d\omega d\theta f(x,y)=∫02π∫−∞∞F(ωcosθ,ωsinθ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ
应用傅里叶切片定理，以及 G ( ω , θ + π ) = G ( − ω , θ ) G(\omega,\theta+\pi)=G(-\omega,\theta) G(ω,θ+π)=G(−ω,θ)可得
f ( x , y ) = ∫ 0 2 π ∫ − ∞ ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x cos θ + y sin θ ) ω d ω d θ = ∫ 0 π [ ∫ − ∞ ∞ ∣ w ∣ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ρ d ω ] ρ = x cos θ + y sin θ d θ \begin{aligned} f(x,y)&=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega,\theta)e^{j2\pi\omega(x\cos\theta+y\sin\theta)}\omega d\omega d\theta \\ &=\int_{0}^{\pi}\left[\int_{-\infty}^{\infty}|w|G(\omega,\theta)e^{j2\pi\omega\rho}d\omega\right]_{\rho=x\cos\theta+y\sin\theta}d\theta \end{aligned} f(x,y)=∫02π∫−∞∞G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ=∫0π[∫−∞∞∣w∣G(ω,θ)ej2πωρdω]ρ=xcosθ+ysinθdθ
方括号里可以看成一维傅里叶逆变换，只是附加了 ∣ ω ∣ |\omega| ∣ω∣项，这一项可以看为一个斜坡滤波器。因为 ∣ ω ∣ |\omega| ∣ω∣在无穷处都到达 + ∞ +\infty +∞,所以傅里叶反变换无定义。实践中常常通过加窗的方式，使它在定义的范围之外为0。
简单的方法是通过方波限制，但方波有不希望的振铃特性，这会为图像重建带来伪影。因此可以考虑平滑窗，比如汉明窗或者韩窗：
h ( w ) = { c + ( c − 1 ) cos 2 π ω M − 1 0 ⩽ ω ⩽ ( M − 1 ) 0 其他 h(w)=\left\{ \begin{aligned} &c+(c-1)\cos\frac{2\pi\omega}{M-1} \qquad &0\leqslant\omega\leqslant(M-1) \\ &0 \qquad &其他 \end{aligned}\right. h(w)=⎩ ⎨ ⎧c+(c−1)cosM−12πω00⩽ω⩽(M−1)其他
总结： 获得完整反投影图像是由如下步骤得到的：
- 计算每个投影的一维傅里叶变换。
- 用滤波函数 ∣ ω ∣ |\omega| ∣ω∣乘以每个傅里叶变换，即乘以一个合适的窗。
- 得到每个滤波后的变换的一维傅里叶反变换。
- 对所有的一维反变换积分（求和）。
卷积与傅里叶反变换
考虑傅里叶反变换可以写成卷积的形式，可以有
f ( x , y ) = ∫ 0 π [ ∣ ω ∣ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ρ d ω ] ρ = x cos θ + y sin θ d θ = ∫ 0 π [ s ( ρ ) ⋆ g ( ρ , θ ) ] ρ = x cos θ + y sin θ d θ = ∫ 0 π [ ∫ − ∞ ∞ g ( ρ , θ ) s ( x cos θ + y sin θ − ρ ) d ρ ] d θ \begin{aligned} f(x,y)&=\int_0^{\pi}\left[|\omega|G(\omega,\theta)e^{j2\pi\omega\rho}d\omega\right]_{\rho=x\cos\theta+y\sin\theta}d\theta \\ &=\int_0^{\pi}\left[s(\rho)\star g(\rho,\theta)\right]_{\rho=x\cos\theta+y\sin\theta}d\theta \\ &=\int_0^{\pi}\left[\int_{-\infty}^{\infty}g(\rho,\theta)s(x\cos\theta+y\sin\theta-\rho)d\rho\right]d\theta \end{aligned} f(x,y)=∫0π[∣ω∣G(ω,θ)ej2πωρdω]ρ=xcosθ+ysinθdθ=∫0π[s(ρ)⋆g(ρ,θ)]ρ=xcosθ+ysinθdθ=∫0π[∫−∞∞g(ρ,θ)s(xcosθ+ysinθ−ρ)dρ]dθ
其中 ⋆ \star ⋆表示卷积， s ( ρ ) s(\rho) s(ρ)表示 ∣ ω ∣ |\omega| ∣ω∣的傅里叶逆变换。
注：
- 重建过程中不需要存储所有的反投影图像，单个求和运算仅被最后的反投影图像更新。
- 斜坡滤波器在频率域的直流项归零，故每幅反投影图像的均值将为零。这意味着每幅反投影图像都将有负像素和正像素。简单的解决办法是所有像素减去最小值再放缩。
f ′ = K [ f − min f max ( f − m i n f ) ] f'=K\left[\frac{f-\min{f}}{\max{(f-min{f})}}\right] f′=K[max(f−minf)f−minf]