泛函分析 第二章 线性算子与线性泛函

第二章 线性算子与线性泛函

线性算子的概念

定义2.1.1 线性算子

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是线性空间，$D\subset \mathcal{X}$是线性子空间，若
$$\begin{gathered} T:D\to \mathcal{Y} \\ T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty \end{gathered}$$
则$T$是线性算子

定义2.1.8 线性算子的连续性

$T$连续：$x_n\in D(T),x_n\to x_0\Rightarrow T{x}_n\to T{x}_0$
$T$有界：$\exists M⩾0,||Tx|{|}_{\mathcal{Y}}⩾||x|{|}_{\mathcal{X}}$

$T$连续$\iff T$在$\theta$处连续$\iff T$有界

定义2.1.12 算子的范数

$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$是一切由$\mathcal{X}$到$\mathcal{Y}$的有界线性算子的全体，并规定
$$||T||=\underset{x\in \mathcal{X}\setminus \{\theta \}}{\sup }\frac{||Tx||}{||x||}=\underset{||x||=1}{\sup }||Tx||=\underset{||x||⩽1}{\sup }||Tx||=\underset{x<1}{\sup }||Tx||$$
为$T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$的范数，特别地用$\mathcal{L}(\mathcal{X})$表示$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{X})$以及${\mathcal{X}}^{\ast }$表示$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathbb{K})$，即${\mathcal{X}}^{\ast }$表示$\mathcal{X}$上的线性有界泛函全体。

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，$\mathcal{Y}$是$B$空间，若在$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$上规定线性运算：
$$({\alpha }_1{T}_1+{\alpha }_2{T}_2)(x)={\alpha }_1{T}_{1}x+{\alpha }_2{T}_{2}x(\forall x\in \mathcal{X})$$其中${\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{K},T_1,T_2\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，则$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$按$||T||$构成一个Banach空间。

例：有穷维的线性映射一定是连续的，可以表示成矩阵

例：设Hilbert空间$\mathcal{X}$的闭线性子空间$M$，则$\forall x\in \mathcal{X}$，由正交分解定理，存在唯一的$y\in M,z\in M^{\perp }$，使得$x=y+z$，对应的$x\mapsto y$称作由$\mathcal{X}$到$M$的正交算子，记做$P_M$。可以得到$P_M$是连续的线性算子，并且$||P_M||=1$

Riesz定理及其应用

定理2.2.1 F.Riesz

设$f$是Hilbert空间$\mathcal{X}$上的一个连续线性泛函，则必存在唯一的$y_f\in \mathcal{X}$，使得$f(x)=(x,y_f)(\forall x\in \mathcal{X})$且$||f|{|}_{{\mathcal{X}}^{\ast }}=||y_f|{|}_{\mathcal{X}}$。换言之，$y$与连续函数$f$等距同构，而且是共轭线性等距同构。

注：这个定理的几何意义如下：线性连续泛函$f(x)$的等值面都是相互平行的超平面，因此每个向量$x$的泛函值$f(x)$应由$x$的垂直于这些等值面的分量所决定。

类似地，设$\mathcal{X}$是一个Hilbert空间，$a(x,y)$是$\mathcal{X}|$上的共轭双线性函数，并$\exists M>0$，使得对$\forall x,y\in \mathcal{X},|a(x,y)|⩽M||x||||y||$，则存在唯一的$A\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$，使得$a(x,y)=(x,Ay)$，且$||A||=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\in \mathcal{X}\times \mathcal{X},}{x\ne \theta ,y\ne \theta }}{\sup }|\frac{a(x,y)}{||x||||y||}|=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\in \mathcal{X}\times \mathcal{X},}{x=1,y=1}}{\sup }|a(x,y)|$

纲与开映像定理

定义2.3.1 疏

设$(\mathcal{X},\rho )$是一个度量空间，集$E\subset \mathcal{X}$，如果$\bar{E}$是的内点是空的，则称$E$是疏的。

$E$疏$⟺\forall B(x_0,r_0),\exists B(x_1,r_1)\subset B(x_0,r_0)$使得$\overline{E}\cap \overline{B}(x_1,r_1)=\varphi$【千疮百孔】

定义2.3.4 纲集

第一纲集：$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n$，其中$E_n$是疏集
第二纲集：不是第一纲的集合称为第二纲集

可数点集总是第一纲集

定理2.3.6 Baire纲定理

完备度量空间$(\mathcal{X},\rho )$是第二纲集

由此可以推出，$C[0,1]$中处处不可微的函数集合$E$是非空的，且$E$的余集是第一纲集。

定理2.3.7 Banach逆算子定理

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是$B$空间，若$T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$既单又满，则$T^{-1}\mathcal{L}(\mathcal{Y},\mathcal{X})$

定理2.3.8 开映像定理

开映像：$T:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$把开集映为开集
开映像定理：设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$都是$B$空间，若$T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$是一个满射，则$T$是开映像

注：$\frac{d}{dt}$在$C[0,1]$上不是连续的。设$x_n(t):=\sin n\pi t$，显然$||x_n||=1$，但$||\frac{d}{dt}{x}_n(t)||=n\pi ||\cos n\pi t||=n\pi \to \infty$

定义2.3.9 闭线性算子

设$T$是$\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$的线性算子，$D(T)$是定义域。称$T$是闭的，是指
$$\{\begin{array}{l}{x}_n\in D(T)\\ x_n\to x\\ T{x}_n\to y\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x\in D(T)\\ y=Tx\end{array}$$
上例中$\frac{d}{dt}$虽然不连续，但是是闭算子

若$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是$B$空间，$T:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$是一个闭线性算子满足$R(T)$是$\mathcal{Y}$的第二纲集，则$R(T)=\mathcal{Y}$且$\forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon )>0,U(\theta ,\delta )\subset T(B(\theta ,\epsilon )\cap D(T))$，进一步，若$T$单，则$T^{-1}\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$

定理2.3.12 B.L.T

设$T$是$B^{\ast }$空间$\mathcal{X}$到$B$空间$\mathcal{Y}$的连续线性算子，那么$T$能唯一地延拓到$\overline{D(T)}$上成为连续线性算子$T_1$，使得$T_1{|}_{D(T)}=T$，且$||T_1||=||T||$

一般的闭线性算子未必能延拓到$\overline{D(T)}$上使其闭。

定理2.3.13 等价范数定理

设线性空间$\mathcal{X}$上有两个模$||\cdot |{|}_1$与$||\cdot |{|}_2$，如果$\mathcal{X}$关于这两个模都构成$B$空间，且$||\cdot |{|}_2$比$||\cdot |{|}_1$强，则$||\cdot |{|}_2$与$||\cdot |{|}_1$必等价。

定理2.3.14 闭图像定理

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是$B$空间，若$T$是$D(T)\subset \mathcal{X}\to \mathcal{Y}$的闭线性算子，并且$D(T)$是闭的，则$T$是连续的。

这意味着$D(T)$闭时，$T$连续$⟺T$为闭算子

定理2.3.15 共鸣定理

设$\mathcal{X}$是$B$空间，$\mathcal{Y}$是$B^{\ast }$空间，如果$W\subset \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，使得$\underset{A\in W}{\sup }||Ax||<\infty (\forall x\in \mathcal{X})$，那么存在常数$M$使得$||A||⩽M(\forall A\in W)$

定理2.3.16 Banach-Steinhaus定理

设$\mathcal{X}$是$B$空间，$\mathcal{Y}$是$B^{\ast }$空间，$M$是$\mathcal{X}$的某个稠密子集，若$A_n(n=1,2,\cdots ),A\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，则$\forall x\in \mathcal{X}$都有$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_{n}x=Ax$的充要条件是
(1) $||A_n||$有界
(2) 极限式对$\forall x\in M$成立
【对稠成立且一致有界】

定理2.3.17 Lax-Milgram定理

设$a(x,y)$是Hilbert空间$\mathcal{X}$上的一个共轭双线性函数，满足：
(1) $\exists M>0$，使$|a(x,y)|⩽M||x||||y||(\forall x,y\in \mathcal{X})$
(2) $\exists \delta >0$，使$|a(x,x)|⩾\delta ||x|{|}^2(\forall x\in \mathcal{X})$
那么必存在唯一有连续逆的连续线性算子$A\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$，满足$a(x,y)=(x,Ay)(\forall x,y\in \mathcal{X}),||A^{-1}||⩽\frac{1}{\delta }$

Hahn-Banach定理

定理2.4.1 实Hahn-Banach定理

设$\mathcal{X}$是实线性空间，$p(x)$是定义在$\mathcal{X}$上的次线性泛函，${\mathcal{X}}_0$是$\mathcal{X}$的实线性子空间，$f_0$是${\mathcal{X}}_0$上的实线性泛函并满足$f_0(x)⩽p(x)(\forall x\in {\mathcal{X}}_0)$，那么$\mathcal{X}$上必有一个实线性泛函$f$满足
(1) $f(x)⩽p(x)(\forall x\in \mathcal{X})$ 【受$p$控制条件】
(2) $f(x)=f_0(x)(\forall x\in {\mathcal{X}}_0)$ 【延拓条件】

定理2.4.2 复Hahn-Banach定理

设$\mathcal{X}$是复线性空间，$p(x)$是定义在$\mathcal{X}$上的半模，${\mathcal{X}}_0$是$\mathcal{X}$的线性子空间，$f_0$是${\mathcal{X}}_0$上的线性泛函并满足$f_0(x)⩽p(x)(\forall x\in {\mathcal{X}}_0)$，那么$\mathcal{X}$上必有一个线性泛函$f$满足
(1) $|f(x)|⩽p(x)(\forall x\in \mathcal{X})$ 【受$p$控制条件】
(2) $f(x)=f_0(x)(\forall x\in {\mathcal{X}}_0)$ 【延拓条件】

关键思想是令$f(x)=g(x)-ig(ix)$，其中$g(x)$是实的

为了复线性空间$\mathcal{X}$上至少有一个非零线性泛函，只要$\mathcal{X}$中含有某一个均衡的吸收真凸子集。

定理2.4.4 Hahn-Banach

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，${\mathcal{X}}_0$是$\mathcal{X}$的线性子空间，$f_0$是定义在${\mathcal{X}}_0$上的有界线性泛函，则$\mathcal{X}$上必有有界线性泛函$f$满足：
(1) $f(x)=f_0(x)(\forall x\in {\mathcal{X}}_0)$（延拓条件）
(2) $||f||=||f_0|{|}_0$（保范条件）

每个$B^{\ast }$空间必有足够多的连续线性泛函，这意味着$\forall x_1\ne x_2,\exists$连续线性泛函$f$，使得$f(x_1)\ne f(x_2)$

若$x_0\ne \theta$，则可以构造子空间${\mathcal{X}}_0=\{\lambda x_0|\lambda \in \mathbb{C}\}$，并在${\mathcal{X}}_0$上定义$f_0(\lambda x_0)=\lambda ||x_0||$，那么$f_0(x_0)=||x_0||,||f_0|{|}_0=1$
由此可得以下推论

推论2.4.6

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，$\forall x_0\in \mathcal{X}\setminus \{\theta \}$，必$\exists f\in {\mathcal{X}}^{\ast }$，使得$f(x_0)=||x_0||,||f||=1$

本推论给出了判断$B^{\ast }$空间零元的一种方法：$$x=\theta ⟺\forall f\in {\mathcal{X}}^{\ast },f(x_0)=0$$

定理2.4.7

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，$M$是$\mathcal{X}$的线性子空间，若$x_0\in \mathcal{X}$，且$d:=\rho (x_0,M)>0$，则必$\exists f\in {\mathcal{X}}^{\ast }$适合条件
(1) $f(x)=0(\forall x\in M)$
(2) $f(x_0)=d$
(3) $||f||=1$

推论2.4.8

设$M$是$B^{\ast }$空间的一个子集，又设$x_0$是$\mathcal{X}$中任意一个非零元素，那么$x\in \overline{spanM}$的充要条件是
$$\forall f\in {\mathcal{X}}^{\ast },f(x)=0(\forall x\in M)⟹f(x_0)=0$$

定理2.4.14 Hahn-Banach定理的几何形式

设$E$是实$B^{\ast }$空间$\mathcal{X}$上以$\theta$为内点的凸子集且$E⫋\mathcal{X}$，又设$x_0\notin E$，则必存在一个闭超平面$H_f^r$分离$x_0$与$E$

其中$H_f^r:=\{x\in \mathcal{X}|f(x)=r\}$，分离指的是
$$\begin{gathered} f(x_0)⩽r,\forall x\in E,f(x)⩾r \\ 或f(x_0)⩾r,\forall x\in E,f(x)⩽r \end{gathered}$$

注1 $E$有内点不可省略
注2 $f$可推出是非零连续线性泛函
注3(定理2.4.15)
设$E_1,E_2$是实$B^{\ast }$空间中两个互不相交的非空凸集，$E_1$有内点；那么$\exists s\in {\mathbb{R}}^1$和非零线性连续泛函$f$，使得超平面$H_f^s$分离$E_1$和$E_2$

定理2.4.16 Ascoli定理

设$E$是实$B^{\ast }$空间$\mathcal{X}$中的闭凸集，则$\forall x_0\in \mathcal{X}\setminus E,\exists f\in {\mathcal{X}}^{\ast }$及$\alpha \in {\mathbb{R}}^1$，适合
$$f(x)<\alpha <f(x_0)(\forall x\in E)$$

定理2.4.17 Mazur定理

设$E$是实$B^{\ast }$空间$\mathcal{X}$上的一个有内点的凸集，$F$是$\mathcal{X}$上的一个线性流形，又设$\mathring{E}\cap F=\varphi$，那么存在一个包含$F$的闭超平面$L$，使$E$在$L$的一侧。

共轭空间·弱收敛·自反空间

定义2.5.1 共轭空间

设$\mathcal{X}$是一个$B^{\ast }$空间，$\mathcal{X}$上所有的连续线性泛函全体，按范数$||f||:=\underset{||x||=1}{\sup }|f(x)|$构成一个$B$空间，称为$\mathcal{X}$的共轭空间，记为${\mathcal{X}}^{\ast }$

定理2.5.7 第二共轭空间

${\mathcal{X}}^{\ast }$的共轭空间记为${\mathcal{X}}^{\ast \ast }$，称为$\mathcal{X}$的第二共轭空间。

$B^{\ast }$空间$\mathcal{X}$与它的第二共轭空间${\mathcal{X}}^{\ast \ast }$的一个子空间等距同构。
$B$空间$\mathcal{X}$与它的第二共轭空间${\mathcal{X}}^{\ast \ast }$的一个闭子空间等距同构。

$\forall x\in \mathcal{X}$，可定义$⟨X,f⟩=⟨f,x⟩(\forall f\in {\mathcal{X}}^{\ast })$，于是$||x||=||X||$。令$T:x\mapsto X$为自然映射，显然它是连续的。

定义2.5.8 自反的

$T$是满射，即$\mathcal{X}={\mathcal{X}}^{\ast \ast }$，称$\mathcal{X}$是自反的。

定义2.5.9 共轭算子

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是$B^{\ast }$空间，算子$T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，算子$T^{\ast }:{\mathcal{Y}}^{\ast }\to {\mathcal{X}}^{\ast }$称为是$T$的共轭算子是指$$f(Tx)=(T^{\ast }f)(x)(\forall y\in {\mathcal{Y}}^{\ast },\forall x\in \mathcal{X})$$

映射$\ast :T\mapsto T^{\ast }$是$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$到$\mathcal{L}({\mathcal{Y}}^{\ast },{\mathcal{X}}^{\ast })$内的等距同构。

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是$B^{\ast }$空间，$T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，那么$T^{\ast \ast }\in \mathcal{L}({\mathcal{X}}^{\ast \ast },{\mathcal{Y}}^{\ast \ast })$是$T$在$X^{\ast \ast }$上的延拓，并满足$||T^{\ast \ast }||=||T||$

定义2.5.15 弱收敛

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是$B^{\ast }$空间，$\{x_n\}\subset \mathcal{X},x\in \mathcal{X}$，称$\{x_n\}$弱收敛到$x$，记做$x_n\rightharpoonup x$，是指：对于$\forall f\in {\mathcal{X}}^{\ast }$都有$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(x)$，这时$x$称做点列$\{x_n\}$的弱极限。

注1： 称按范数收敛为强收敛，对应的极限成为强极限。若$\dim \mathcal{X}<\infty$，则弱收敛与强收敛等价。
注2： 弱极限若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。

定义2.5.19 $\ast$弱收敛

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，$\{f_n\}\subset {\mathcal{X}}^{\ast },f\in {\mathcal{X}}^{\ast }$.称$f_n\ast$弱收敛到$f$，记做$w^{\ast }-\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f$是指：对于$\forall x\in \mathcal{X}$，都有$\underset{f_n(x)}{\lim }=f(x)$，这时$f$称做泛函序列$\{f_n\}$的$\ast$弱收敛。

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，$\{x_n\}\subset \mathcal{X},x\in \mathcal{X}$，则为了$x_n\rightharpoonup x$，必须且仅须
(1) $||x_n||$有界
(2) 对${\mathcal{X}}^{\ast }$中的一个稠密子集$M^{\ast }$上的一切$f$都有$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(x)$

设$\mathcal{X}$是$B$空间，又设$\{f_n\}\subset {\mathcal{X}}^{\ast },f\in {\mathcal{X}}^{\ast }$，则为了$w^{\ast }-\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f$，必须且仅须
(1) $||f_n||$有界
(2) 对$\mathcal{X}$中的一个稠密子集$M$上的一切$x$都有$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$

定义2.5.22 算子的一致极限、强极限、弱极限

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$是$B^{\ast }$空间，又设$T_n(n=1,2,\cdots ),T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$
(1) 若$||T_n-T||\to 0$，则称$T_n$一致收敛与$T$，记做$T_n\rightrightarrows T$，这时$T$称做$\{T_n\}$的一致极限。
(2) 若$||(T_n-T)x||\to 0(\forall x\in \mathcal{X})$，则称$T_n$强收敛于$T$，记做$T_n\to T$，这时$T$称做$\{T_n\}$的强极限。
(3) 若对于$\forall x\in \mathcal{X}$，以及$\forall f\in {\mathcal{Y}}^{\ast }$都有$\underset{n\to \infty }{\lim }f(T_{n}x)=f(Tx)$,则称$T_n$弱收敛于$T$，记做$T_n\rightharpoonup T$，这时$T$称做$\{T_n\}$的弱极限。
显然，一致收敛$⟹$强收敛$⟹$弱收敛，且每种极限若存在必唯一，但反过来都不对。

若$\mathcal{Y}=\mathbb{K}$，则此时$T_n,T\in {\mathcal{X}}^{\ast }$，此时$T_n$强收敛或弱收敛于$T$均等同于$\ast$弱收敛于$T$，进一步当$\mathcal{Y}$为有限维$B^{\ast }$空间时，其上的强收敛与弱收敛等价。

定义2.5.25 弱列紧，$\ast$弱列紧

弱列紧：任意点列中有一个弱收敛子列。
$\ast$弱列紧：任意点列中有一个$\ast$弱收敛子列。

设${\mathcal{X}}^{\ast }$是可分的$B^{\ast }$空间，那么${\mathcal{X}}^{\ast }$上的任意有界列$\{f_n\}$必有$\ast$弱收敛的子列，但不一定有依${\mathcal{X}}^{\ast }$收敛的子列

定理2.5.26 Banach

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，若$\mathcal{X}$的共轭空间${\mathcal{X}}^{\ast }$是可分的，则$\mathcal{X}$是可分的。

定理2.5.27 Pettis定理

自反空间$\mathcal{X}$的闭子空间${\mathcal{X}}_0$必是自反空间。

定理2.5.28 Eberlein-Smulian定理

自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的。

定理2.5.29 Alaoglu定理

设$\mathcal{X}$是$B^{\ast }$空间，则${\mathcal{X}}^{\ast }$中的单位闭球是$\ast$弱列紧的。