线性代数的本质6-逆矩阵、列空间与零空间

• 线性方程组：
  
  在每一个方程中，所有的未知量(x,y,z等)只具有常系数；
  未知量之间只进行加减，没有幂次与未知量之间等乘积等；
  未知量放在等号的左边，剩余常数项放在等号右边；
  最好将同一个未知量竖直对齐，在某个未知量不出现时，加入0这个系数。
• 可以将方程组所有方程合并成一个向量方程：
  
  这个向量矩阵有一个包含所有常数系数的矩阵A；
  一个包含所有未知数的向量x；
  和它们乘积所得到的一个常数向量v；
• 矩阵A代表一种线性变换，所以求解Ax=v意味着要去寻找一个向量x，使得它在变换后与v重合。
• 在二维空间中，行列式不为零的情况，表示此时空间并未被挤压为零面积， 在这种情况下，有且仅有一个向量与v重合。
• 可以通过逆向进行变换来通过v找到x，这个逆向变换实际对应了另一个线性变换，通常被称为“A的逆”记为A^(-1)
• 总的来说，A逆是满足下列性质的唯一变换：
  1）应用A代表的变换后，再应用A逆代表的变换，则将会回到原始状态。
  2）两个变换相继作用在代数上体现为矩阵乘法，所以A逆的核心性质在于：A逆乘以A等于一个“什么都不做”的矩阵。这个“什么都不做”的变换被称为“恒等变换”。它保持i帽和j帽不变，所以它的列就是(1,0)和(0, 1)。
• 一旦找到了A的逆(可用计算机完成)，就可以在向量方程两边同乘A的逆矩阵来求解这个向量方程。
• 当方程数与未知量数目相同时，且行列式不为0(不将空间压缩到更低的维度上)，则可以确定这个方程组存在唯一解。

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• 当行列式为0时，这个与方程组相关的变换将空间压缩到更低的维度上，此时没有逆变换，因为不能将一条线“解压缩”为一个平面。
• 不存在逆变换时，解仍然可能存在，比如说线性变换将空间压缩至一条线，然后向量v刚好在这条线上，则有解。
  

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• 当变换的结果是一条直线时，也就是说是一维时，我们称这个变换的秩为1
  当变换的结果落在一个二维平面上，我们称这个变换的秩为2
• 秩代表了变换后空间的维数

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列空间

• 不管是一条直线、一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合，被称为矩阵的“列空间”
• 矩阵的列表示基向量变换后的位置，变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果。
  换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间。
• 当秩达到最大值，意味着秩与列数相等，称为满秩。
• 零向量一定被包含在列空间中。
• 在变换后落在原点的向量的集合，被称为所选矩阵的“零空间”或“核”
• 变换后一些向量落在零向量上，从这个意义上说，“零空间”就是这些向量所构成的空间。
• 对于线性方程组来说，当向量v恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解。如图下黄色向量(经过变换变成了零向量)
  
  
  
  
  

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非方阵情况

• 如下所示这样一个3*2的矩阵，其列空间是三维空间中一个过原点的二维平面。
• 但这个矩阵仍然是满秩的，因为列空间的维数与输入空间的维数相等，
• 所以当看到一个3*2 、矩阵时，它的几何意义是将二维空间映射到三维空间上。
• 矩阵有两列就表示输入空间有两个基向量，三行表示每个基向量在变换后用三个独立的坐标点来表示。

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如下图所示，是2*3的矩阵

• 矩阵有三列表，表明原始空间有三个基向量，也就是说原始空间是三维的，两行表明这三个基向量在变换后降低了维度，仅用两个坐标来表示，落在了二维空间中，因此，这是一个从三维空间到二维空间的变换。
• 还可以有二维空间到一维空间到变换，一维空间实际上就是数轴。