【算法与数据结构】647、516、LeetCode回文子串+最长回文子序列

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一、647、回文子串

  思路分析：判断一个字符串是否为回文串那么必须确定回文串的所在区间，而一维数组无法描述区间，因此我们需要用一个二维的dp数组来表示。我们只需要统计dp数组中回文串的个数即可。

1. 第一步，动态数组的含义。$dp[i][j]$代表区间$[i,j]$（左闭右闭）的字符串是否为回文串。dp数组的类型为bool类型。
2. 第二步，递推公式。$dp[i][j]$可以由两种情况推导出来：

• $s[i]$$s[j]$相等：若$i=j$，仅一个字符（例如a），那么必然是回文串；若$j-i=1$，两个字符（例如aa），那么也是回文串；剩下的情况：$[i,j]$的字符串是否为回文串与$[i+1,j-1]$的字符串是否为回文串相同，即$dp[i][j]=dp[i+1][j-1]$。
• $s[i]$$s[j]$不相等：那么$dp[i][j]=false$。

	if (s[i] == s[j]) {
		if (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1]) {
			result++;
			dp[i][j] = true;
		}
	}
	else dp[i][j] = false;

3. 第三步，元素初始化。所有元素全部假设为false。

	vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));

4. 第四步，递归顺序。从递归公式$dp[i][j]=dp[i+1][j-1]$中可以看出，$dp[i][j]$需要反对角线上的元素。因此我们需要先让最下面一行的元素先有结果。同时，按定义来说$dp[i][j]$是一个对称句矩阵，循环只要覆盖主对角线及其上方的元素即可（如图所示）。
5. 第五步，打印结果。

  程序如下：

// 647、回文子串-动态规划
class Solution {
public:
	int countSubstrings(string s) {
		vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
		int result = 0;
		for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {	// 从下往上行遍历
			for (int j = i; j < s.size(); j++) {	// 从前往后列遍历
				if ((s[i] == s[j]) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
					result++;
					dp[i][j] = true;
				}
			}
		}
		return result;
	}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n^2)$。

二、516、最长回文子序列

  思路分析：本题的分析思路和647题差不多。

1. 第一步，动态数组的含义。$dp[i][j]$代表区间$[i,j]$（左闭右闭）的字符串的最大回文串长度。
2. 第二步，递推公式。$dp[i][j]$可以由两种情况推导出来：

• $s[i]$$s[j]$相等：那么$dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2$。
• $s[i]$$s[j]$不相等：那么说明加入$s[i]$和$s[j]$不能使回文串长度增加。那么单独加入$s[i]$或$s[j]$看看那个能组成最长的回文子序列，加入$s[i]$的回文子序列长度为$dp[i][j-1]$，加入$s[j]$的回文子序列长度为$dp[i+1][j]$，二者取大值，即$dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+1][j])$。

	if (s[i] == s[j]) {
		dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
	}
	else {
		dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
	}

3. 第三步，元素初始化。$i=j$的一个字符串就是回文串，其他情况的dp数组元素全部初始化为0。

	vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), 0));
	for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

4. 第四步，递归顺序。$dp[i][j]$依赖于$dp[i+1][j-1]$，$dp[i+1][j]$和$dp[i][j-1]$。那么递归顺序需要从下往上，从前往后递归。
5. 第五步，打印结果。

  程序如下：

// 516、最长回文子序列-动态规划
class Solution2 {
public:
	int longestPalindromeSubseq(string s) {
		vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
		for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
		for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {	// 从下往上行遍历
			for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {	// 从前往后列遍历
				if (s[i] == s[j])	dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
				else				dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
			}
		}
		return dp[0][s.size() - 1];
	}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n^2)$。

三、完整代码

# include 
# include 
# include 
using namespace std;

// 647、回文子串-动态规划
class Solution {
public:
	int countSubstrings(string s) {
		vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
		int result = 0;
		for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {	// 从下往上行遍历
			for (int j = i; j < s.size(); j++) {	// 从前往后列遍历
				if ((s[i] == s[j]) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
					result++;
					dp[i][j] = true;
				}
			}
		}
		return result;
	}
};

// 516、最长回文子序列-动态规划
class Solution2 {
public:
	int longestPalindromeSubseq(string s) {
		vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
		for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
		for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {	// 从下往上行遍历
			for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {	// 从前往后列遍历
				if (s[i] == s[j])	dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
				else				dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
			}
		}
		return dp[0][s.size() - 1];
	}
};

int main() {
	//string s = "aaa";	// 测试案例
	//Solution s1;
	//int result = s1.countSubstrings(s);

	string s = "bbbab";
	Solution2 s1;
	int result = s1.longestPalindromeSubseq(s);

	cout << result << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

end